Давайте дорешаем задачу про гамильтонов цикл на додекаэдре — благо, что теперь это совсем несложно.
Правда, я всё-таки воспользуюсь другой версией его графа — где чуть больше пятиугольников, похожих на пятиугольники. :)
Но на ней тоже есть два соседних пятиугольника прямо в центре — и с точностью до симметрии, можно предположить, что это и есть две соседних грани, в которых "выброшено" лишь по одному ребру. Пусть их общее ребро AB, тогда эти выброшенные рёбра должны быть соседними с вершинами A и B (потому что одно из рёбер у A и одно из рёбер у B нужно выбросить). И опять же, с точностью до симметрии, можно считать, что выброшены рёбра из A вправо и из B влево.