а) Сразу можно проверить, что с гиперболическим косинусом я вас не обманываю: гиперболические синус и косинус связаны соотношениями
ch'(x)=sh(x) = (e^x-e^{-x})/2,
sh'(x)=ch(x),
ch^2(x) - sh^2(x) =1,
которые можно проверить либо непосредственно, либо заметив, что
ch(x)=cos(ix), sh(x)=-i*sin(ix). Ну и вообще, если вы их раньше не видели — их стоит запомнить!
Соответственно, для f(x)=ch(x) в числителе будет ch''(x)=ch(x), в знаменателе \sqrt{1+sh^2(x)}=ch(x), так что частное будет тождественной единицей.

б) Более того, это уравнение не так сложно решить. Если умножить обе части на f'(x), то в левой части будет производная от \sqrt{1+f'(x)^2}, а в правой — от const*f. Соответственно, отличаться эти две функции будут на константу. Ну а уравнение
\sqrt{1+f'(x)^2}=С*(f+D)
решается как автономное дифференциальное уравнение первой степени (выражаем f' через f, и дальше стандартно).
Но такое явное решение это именно то, чего я бы не хотел делать!

в) Так вот — следующий шаг это перейти к качению квадратного колеса. Точнее — полуплоскости: то, сколько сторон у колеса (и какие у него углы), влияет только на то, как должны происходить переходы от "катится n-я сторона" к "катится n+1-я сторона" (и на этом я, наоборот, останавливаться не буду).