И это стало для меня поводом наконец поразбираться со связями задач в этом сюжете.

Давайте я начну с замечательного ролика "Математических этюдов" — "Цепная линия", https://etudes.ru/etudes/catenary/ .

Там появляются три сюжета:
- По какой линии висит между двумя точками подвеса тонкая верёвка или цепочка?
- Какой формы должны быть ухабы на дорогах, чтобы тележка с квадратными колёсами, катящимися без проскальзывания, по такой дороге ехала идеально-горизонтально?
- Натянем мыльную плёнку на два соосных обруча. Она примет форму поверхности вращения (вокруг общей оси) — но от какой кривой (или, что то же самое, как будет выглядеть её сечение плоскостью, проходящей через эту ось)?

Оказывается, что ответ на эти три вопроса (с точностью до мелочей) один и тот же; он называется (из-за первого вопроса) "цепной линией", и это (с точностью до выбора масштаба) график гиперболического косинуса
ch(x) = (e^x + e^{-x})/2.

Все эти задачи можно решить по отдельности: написать дифференциальное уравнение, потом решить его; ну и под конец убедиться, что во всех трёх решения именно такие. Но — часто, если решения совпадают, то на самом деле совпадают или как-то связаны друг с другом сами уравнения.
Так что хочется большего: нельзя ли понять, что решения будут одинаковыми, не решая дифференциальных уравнений, а сводя одну из задач к другой?