Сумма сил должна быть равна нулю — и значит, горизонтальные компоненты сил натяжения компенсируют друг друга: у силы тяжести горизонтальной компоненты нет. А раз так происходит для любой дуги (мы же её выделяли мысленно) — то
T(x) cos α(x) = const,
и мы обозначим эту константу через F.

Теперь посмотрим на вертикальный баланс сил. Пусть цепочка задаёт график функции y=f(x), и неизвестная функция f — та самая, которую мы хотим найти. Тогда, раз сила натяжения направлена по касательной к графику, над любой точкой x вертикальная компонента силы натяжения в f'(x) раз больше горизонтальной — и тем самым равна f'(x)*F.

Соответственно, вертикальный баланс записывается так: приращение f'(x)*F между концами дуги равно g*(массу m этой дуги).
Теперь пусть эта дуга маленькая, а ρ — её линейная плотность. Тогда между точками x и x+Δx приращение вертикальной компоненты силы натяжения это примерно
Δx*F*f''(x),
а масса это примерно
m=Δx*ρ*\sqrt{1+f'(x)^2}.
Последний множитель тут потому, что график идёт под углом, и на приращение Δx по оси абсцисс приходится длина примерно Δx*\sqrt{1+f'(x)^2}.

Подставляя и сокращая на Δx, получаем дифференциальное уравнение:
f''(x) = (ρg/F) * \sqrt{1+f'(x)^2},
и поскольку горизонтальная компонента F может быть произвольной (лишь бы она была константой), мы получаем дифференциальное уравнение:
f''(x)=const* \sqrt{1+f'(x)^2}.