Итак, давайте посмотрим, что будет, если катить полуплоскость по цепной линии. (Мы не будем переворачивать цепную линию — пусть полуплоскость катится снизу.)

Опять, как и раньше, выделим дугу, и пусть в этот раз она начинается в нижней точке цепной линии, а заканчивается в произвольной. Вспомним баланс вертикальных компонент сил: разница вертикальных компонент сил натяжения должна уравновешивать силу тяжести — то есть ρg*(длину дуги).

С другой стороны, в нижней точке цепной линии сила натяжения направлена горизонтально, так что вертикальной компоненты у неё вообще нет, а в другом конце дуги вертикальная компонента равна f'(x)*F, где F — горизонтальная (постоянная) компонента натяжения цепочки. Значит, длина дуги от нижней точки до точки с абсциссой x пропорциональна f'(x) — с коэффициентом (F/ρg).

На рисунке выше — в момент горизонтального касания точкой касания была G, а сейчас, после прокатывания, какая-то точка A. Но раз прокатывание было без проскальзывания, то длина отрезка AG на границе это и есть длина дуги от A до нижней точки, то есть f'(x)*const.
Причём этот отрезок границы сейчас как раз направлен вдоль касательной в точке A — тангенс угла наклона которой равен f'(x). И тут просто просится сделать что-нибудь, чтобы f'(x) сократилось!
Построим прямоугольный треугольник AGF, у которого угол G прямой, а гипотенуза AF вертикальна. Тогда AG:GF=f'(x), поэтому длина отрезка GF при качении не меняется!

Вот тут можно посмотреть на это (точку A можно перетаскивать) —
https://www.geogebra.org/m/g2rs98hj

Дальше, когда мы катим полуплоскость по цепной линии — точка A меняется (это текущая точка касания), а вот G нет (это же та точка полуплоскости, которая была точкой касания, когда граница была горизонтальна). Значит, всегда одна и та же и точка F (мы проходим перпендикулярно границе фиксированное расстояние). И видно, что она движется по горизонтали, так что это и будет наш "центр колеса" — осталось это объяснить.

Но объяснение тут совсем простое! Когда у нас без проскальзывания катится колесо — неважно, какой формы и по какой формы поверхности — мгновенные скорости у его точек такие же, как при вращении (с его текущей угловой скоростью) вокруг точки касания. А поскольку отрезок AF вертикальный — скорость точки F будет строго горизонтальной. И так в любой момент времени!

Вот мы и увидели, что точка F при качении движется строго горизонтально.