Раз начало новых координат в нашей точке, U(0,0)=0; раз плоскость была касательной — по линейному приближению функция U тоже нулевая (иначе бы касательная к её графику не была бы горизонтальной), и что-то нетривиальное может быть только, начиная с квадратичных членов.

Значит,
U(s,t) = (1/2)*Q(s,t) + ...,
где Q(s,t)=a*s^2+2b*st+c*t^2 — квадратичная форма, а (...) — члены более высокого порядка. Но квадратичную форму можно поворотом координат привести к главным осям: с точностью до поворота в плоскости (s,t) можно считать, что
Q(s,t) = k_1 s^2 + k_2 t^2.

Величины k_1 и k_2 называются главными кривизнами поверхности — по аналогии с кривизной ( = 1/радиус кривизны) кривой. Они могут быть как одного знака (тогда поверхность локально выпуклая), так и разного (тогда она локально устроена, как "седло" — как на этом рисунке).