ЕГЭ по математике с Крис | MAXIMUM ИЗИ

Оказалось вокруг тебя весь мир кружит 🪩

Вчера я вам напомнила про метод выделения полного квадрата. Мы выделяем полный квадрат не просто для упрощения. Мы делаем это, чтобы увидеть геометрию. Посмотрим, как уравнение с параметром превращается в движущуюся окружность.

Возьмем уравнение:
x² + y² - 4ax + 6y - 3 = 0
Шаг 1: Группируем то, что связано с x и y

(x² - 4ax) + (y² + 6y) - 3 = 0

Шаг 2: Выделяем квадраты

Для x: x² - 4ax = (x - 2a)² - 4a²
Для y: y² + 6y = (y + 3)² - 9

Шаг 3: Собираем обратно

(x - 2a)² - 4a² + (y + 3)² - 9 - 3 = 0
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12

⤴️ Что получилось?
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12 - окружность
- Центр в точке (2a; -3)
- Радиус R = √(4a² + 12)

Что это значит на практике?
1. Видим параметр внутри центра по x -> центр движется по прямой y = -3, a определяет, где именно на этой прямой находится центр.
2. Радиус непостоянный: чем больше |a|, тем больше окружность.

Зачем это нужно?
И снова! теперь задача с параметром становится наглядной. Вместо абстрактного уравнения мы видим окружность, которая:
- едет вдоль прямой
- меняет размер
Нам нужно найти, при каких a (то есть в каких положениях и размерах) эта окружность касается другой линии, пересекает график в двух точках и т.д.

Проверь себя:
Преобразуй x² + y² + 2kx - 4y = 0 в уравнение окружности.
Куда движется центр при изменении k? Зависит ли радиус от параметра?

Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы

Перестань бояться и начни видеть 😵‍💫

В параметрах есть один мощный приём, который меняет всё. Он превращает страшное уравнение в понятную геометрическую картинку. Речь про выделение полного квадрата.

В школе его учат для решения уравнений. В параметрах на ЕГЭ он работает иначе. Мы используем, чтобы увидеть движение графика.

Как это работает на практике?
Возьмём уравнение:

x² – 2ax + a² + y² = 4

Сгруппируем слагаемые с x:

(x² – 2ax + a²) + y² = 4
(x – a)² + y² = 4

Что получили? Это уравнение окружности радиусом 2. А параметр a оказался координатой центра: (a, 0).
Теперь задача не «решить уравнение», а «найти, при каких положениях центра окружности (значениях a) она имеет одну общую точку с прямой y = x».
Параметр перестаёт быть абстрактным числом в уравнении. Он становится координатой, которая двигает график по плоскости.

Шаблон для распознавания:
Видите в уравнении с параметром конструкцию:
x² + px + ... (где p зависит от a)
Скорее всего, здесь спрятана окружность или парабола, центр/вершина которой движется.

⤴️ Пример из реальной задачи:
Уравнение:

√(–x² + 2ax – a² + 4) = x + 1

Преобразуем подкоренное выражение:

–(x² – 2ax + a²) + 4 = 4 – (x – a)²

Подставим:

√(4 – (x – a)²) = x + 1

Слева верхняя полуокружность радиусом 2 с центром в точке (a, 0). Параметр a двигает эту полуокружность вдоль оси OX. Задача свелась к анализу пересечения движущейся полуокружности с прямой.

Ключевой вывод:
Выделение полного квадрата в параметрах это не просто алгебраическое упрощение, это перевод задачи с языка уравнений на язык геометрии

Было?😎
Хорошо, что после общероссийского родительского собрания можно не пылесосить!

Надоели вопросы от родителей про ЕГЭ и поступление? 🫠

Тогда кидай этот пост им.

Мы запускаем общероссийские родительские собрания, где родители узнают, как всё устроено на самом деле: ЕГЭ, поступление, документы, бюджет.

20.01 в 18:00 ЕГЭ 2026/2027: как успешно сдать экзамены и поступить

Что будет:
🔖 Как подавать документы в ВУЗы в 2026 году
🔖 Разбор ВСЕХ новых законов в образовании — обязательная физика/история, сокращение платных и бюджетных мест, новые квоты
🔖 Статистика сдачи ЕГЭ 2025 — ловушки, на которых большинство теряет баллы
🔖 Как реально поступить на бюджет

Собрание проведут наш эксперт по поступлению — Артемий Сайфутдинов и приглашенный спикер — Денис Николаевич Пеленев — Ответственный секретарь Приемной комиссии

➡️ ЗАРЕГИСТРИРОВАТЬСЯ НА СОБРАНИЕ

Не спишь?

Вижу вас, ночных сов! И особенно тех, кто только присоединился и уже начинает тонуть в море формул и разборов.
Не переживайте! Держите подборку самых важных материалов, которые уже есть в канале

⤴️Анализ функций
• Забудьте про производную! Секретный способ решить №8 из ЕГЭ
• Все типы графиков для задания №11
• Таблица производных с примерами
• Геометрический смысл производной
• Физический смысл производной
• Первообразная: что это и как найти
• Решение задания №8 через первообразную
• Исследование функции на экстремумы
• Связь графика функции и производной
• Алгоритмы решения задания №8
• Все необходимое для задания №12
• Шпаргалка по блоку «Анализ функций»

⤴️Алгебра:
• Тригонометрический круг: Полный гайд для чайников
• Тригонометрические функции: все, что нужно для ЕГЭ в одной шпаргалке
• Обратные тригонометрические функции: сложная тема простыми словами
• ФСУ: Полная шпаргалка с примерами применения в задачах
• Тонкая грань: учимся наконец различать ОДЗ и ограничения в уравнениях
• Все формулы для номера 7
• Все типы уравнений в номере 6
• Как заработать два балла в 13 номере?

⤴️Геометрия:
• Отношения отрезков и площадей: ключ к геометрии на ЕГЭ
• Учимся строить стереометрические фигуры
• Карточки по призмам: всё от А до Я
• Пирамиды: формулы и свойства
• Шпаргалка по аксиомам стереометрии
• Карточки по векторам для задач №2
• Шпаргалка по призмам: формулы и свойства
• Карточки по телам вращения: цилиндр, конус, шар
• Построение сечений: алгоритм
• Шпаргалка по пирамидам: всё для задач №3 и №14

⤴️Реальная математика:
• Задачи на сплавы и смеси: алгоритм, который гарантирует баллы
• Вероятность. Дерево решений
• Краткий гайд по вкладам

⤴️Дополнительно:
• Что нас ждет на ЕГЭ-2026? Разбираем новую демоверсию по косточкам
• Быстрое извлечение корня из больших чисел
• Эффективные методы изучения математики
• Разбор 5 варианта из сборника Ященко
Сборник
• Аналитика ФИПИ: на что обратить внимание

Полезного материала у нас накопилось не мало... Представляете сколько будет к концу года? Вот и я не представляю...
Сладких снов, мои хорошие🫶

Подписаться | Мой ТТ

Номер, который многих ставит в тупик 📚

Смотрите на это уравнение и честно сначала вообще непонятно, что с ним делать:

3 cos²(x/2 + π/4) · cos²(x/2 – π/4) = cos⁴ x

Кажется, что тут какие-то страшные аргументы, половинки, дроби... Но давайте не паниковать!
Приглядитесь к левой части. Видите произведение косинусов? А углы-то очень похожи: (x/2 + π/4) и (x/2 – π/4). Они отличаются только знаком у π/4!

Это неспроста. Такая конструкция прямой намёк на формулы преобразования произведения в сумму. Буквально на днях мы с ребятами смотрели как применяется эта формула в 13 номере, и в сборнике я встретила уравнение на ее примененение. Решила сразу с вами поделиться!

Смотрите карточки там все нужные формулы!

Главный урок этого номера
Самые пугающие задачи на ЕГЭ часто оказываются пазлом из простых формул. Нужно всего лишь:
➡️Внимательно посмотреть на структуру
➡️Узнать знакомый паттерн (здесь это произведение косинусов похожих углов)
➡️Вспомнить нужный инструмент (формулу) и правильно его применить

И всё...

Идеи?

Всем субботнего денечка! 😎

Сегодня переключимся на один важный момент, который многие забывают.
Чувствую, где-то икают тангенс и котангенс, потому что сплетничать будем именно о них.

Итак, вспомним, что тангенс - это:

tg x = sin x / cos x

И вот тут интересный моментик: в знаменателе у нас cos x. Чисто в теории, смогу ли я подставить в косинус такой угол x, чтобы он обратился в ноль? Да, конечно! Например, если x = π/2.

Получается, что при решении уравнения в 13 номере каждый раз, когда мы видим тангенс, должны учитывать, что он где-то вообще не существует.

Предлагаю посмотреть на это под двумя углами:
1️⃣ . С одной стороны, нам достаточно прописать ограничение, что cos x ≠ 0. Можно даже решить это неравенство и получить точное условие на угол: x ≠ π/2 + πk, k∈Z.
2️⃣. С другой стороны, давайте вспомним, как мы ищем значение тангенса по тригонометрическому кругу:

➡️Отмечаем угол.
➡️Проводим прямую через центр и точку на окружности.
➡️Продлеваем её до пересечения с осью тангенсов.

Но если мы отметим 90° (π/2) и попробуем применить этот алгоритм… как бы ни старались соединить центр, точку на окружности и ось тангенсов, у нас ничего не выйдет! Потому что ось тангенсов и наша прямая окажутся параллельны. Вот и весь секрет.

▫️Именно поэтому в точках π/2 + πk, k∈Z(то есть на тригокруге сверху и снизу) тангенс не существует.

Аналогичная история для котангенса, только теперь он пропадает там, где sin x = 0. То есть справа и слева на окружности: x ≠ πk, k∈Z.

Главный вывод:
Как только видите в уравнении tg или ctg сразу мысленно рисуйте тригонометрический круг и вычёркивайте «запрещённые» точки! А в решении первым делом пишите ограничение.
Иначе даже при верных вычислениях можно потерять все баллы за неучтённые условия.

Параметр. Твои 4 балла или 4 проблемы? 👊

Вы только что смотрели на линейные функции и выяснили, что в них есть что-то общее. Давайте ещё раз:
y = 2x
y = x
y = ½x
⤴️ Что у них общего?
Все они - прямые, проходящие через начало координат.
А можно ли описать их одной формулой?
Можно! y = ax, где a - любое число.

Ещё пример:
y = x + 1
y = x - 1
y = x + 3
⤴️ Общая формула: y = x + a.
Все эти прямые параллельны друг другу, но смещены по оси y.

Эта маленькая буква a заменяет собой бесконечное множество чисел и описывает целое семейство прямых. Смотрите картинки выше.
Она и называется ПАРАМЕТРОМ.

На самом деле, с параметрами вы встречались не раз!
Например, квадратичная функция:
y = ax² + bx + c
Здесь a, b и c - тоже параметры.
В зависимости от подставленных чисел, мы получаем разные параболы: ветви вверх/вниз, шире/уже, смещённые.

Три главных свойства параметра:
1. Объединяет множество различных значений.
2. Вместо него можно подставить конкретное число.
3. Чтобы понять уравнение с параметром, нужно рассмотреть несколько разных чисел.

✨А теперь самое важное.
На ЕГЭ есть задание, целиком построенное на работе с параметром. Это №18. За него дают ЦЕЛЫХ 4 ПЕРВИЧНЫХ БАЛЛА.
Кажется сложным? На самом деле, его основа в простой идее: один символ управляет поведением целого уравнения или неравенства, или системы...

Дальше покажу, как с этим «зверем» работать на практике, а в конце января... Я для вас кое-что приготовила!😎
А для вас параметр - это пока что страшно, интересно или непонятно? Напишите в комментах!

Готовы врываться в подготовку? 📸

Тогда ловите расписание наших занятий на месяц. Уже сегодня встретимся на первом вебинаре курса ИЗИ.

В январе будем много и усиленно работать, чтобы год начался продуктивно и так продолжался.

А если вы еще не начали подготовку, то советую срочно записаться на курс ИЗИ и пополнить команду тех, кого в 2026 году ждут баллы мечты ❤️