Вчера я вам напомнила про метод выделения полного квадрата. Мы выделяем полный квадрат не просто для упрощения. Мы делаем это, чтобы увидеть геометрию. Посмотрим, как уравнение с параметром превращается в движущуюся окружность.
Возьмем уравнение:
x² + y² - 4ax + 6y - 3 = 0
Шаг 1: Группируем то, что связано с x и y
(x² - 4ax) + (y² + 6y) - 3 = 0
Шаг 2: Выделяем квадраты
Для x: x² - 4ax = (x - 2a)² - 4a²
Для y: y² + 6y = (y + 3)² - 9
Шаг 3: Собираем обратно
(x - 2a)² - 4a² + (y + 3)² - 9 - 3 = 0
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12
⤴️ Что получилось?
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12 - окружность
- Центр в точке (2a; -3)
- Радиус R = √(4a² + 12)
Что это значит на практике?
1. Видим параметр внутри центра по x -> центр движется по прямой y = -3, a определяет, где именно на этой прямой находится центр.
2. Радиус непостоянный: чем больше |a|, тем больше окружность.
Зачем это нужно?
И снова! теперь задача с параметром становится наглядной. Вместо абстрактного уравнения мы видим окружность, которая:
- едет вдоль прямой
- меняет размер
Нам нужно найти, при каких a (то есть в каких положениях и размерах) эта окружность касается другой линии, пересекает график в двух точках и т.д.
Проверь себя:
Преобразуй x² + y² + 2kx - 4y = 0 в уравнение окружности.
Куда движется центр при изменении k? Зависит ли радиус от параметра?
Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы