Анализ графиков: читаем мысли функции через ее производную

В задании №8 ключевой навык — умение переводить язык графика функции на язык графика ее производной, и наоборот. Давайте разберемся, почему эти связи работают.

✉️Случай 1: Дан график функции y = f(x). Что мы можем сказать о производной?
Здесь мы смотрим на наклон касательной в каждой точке графика. Производная — это именно тангенс угла наклона касательной.

График возрастает (идет вверх слева направо)
• Что видим? Касательные к графику образуют острые углы с положительным направлением оси OX.
• Почему? Тангенс острого угла — положителен.
• Вывод: f'(x) > 0

График убывает(идет вниз слево направо)
• Что видим? Касательные к графику образуют тупые углы с положительным направлением оси OX.
• Почему? Тангенс тупого угла — отрицателен.
• Вывод: f'(x) < 0

График достигает "вершины" (максимум) или "впадины" (минимум)
• Что видим? В этой точке график плавно разворачивается. Касательная в этой точке горизонтальна.
• Почему? Угол наклона горизонтальной прямой равен 0. Тангенс нулевого угла тоже 0.
• Вывод: f'(x) = 0.

⭐️ Простыми словами:
Функция возрастает => проиводная положительная
Функция убывает => производная отрицательная
В максимумах и минимумамх => производная равна 0.