Математика как практика

Характерные признаки потока (свойства)

Состояние потока часто описывается исследуемыми как ощущение получения удовольствия от самореализации, повышенной и обоснованной уверенностью в себе, ярко выраженным повышением коммуникативных способностей, умением чётко и ясно выражать свои мысли, убеждать собеседника, эффективно решать проблемы любой сложности или находить неординарные способы их решения. У исследуемых в потоковом состоянии повышаются показатели усваиваемости информации, активизируется память и способности к анализу информации. Выделим ключевые признаки потока:

1. Искажение чувства времени. Часы начинают ощущаться как минуты (или наоборот).

2. Исчезновение чувства самоосознания. Действие и осознанность сливаются, а беспокойство о качестве собственного исполнения пропадает.

3. Снижение субъективного ощущения усилий. Мотивация повышается, деятельность начинает восприниматься ценной сама по себе, ощущение 'тяжелого труда' снижается.

4. Сильная форма концентрации. На фоне полного погружения в процесс другие потребности и проблемы становятся незначительными, негативные мысли уходят.

5. Сильная форма контроля над происходящим. Задача начинает казаться менее трудоемкой, чем обычно для этого человека, деятельность становится более плавной и лёгкой, а беспокойство о потере контроля исчезает.

Таким образом, оптимальное переживание (flow) обеспечивает идеальные условия для занятий математикой: повышенную мотивацию, снижение субъективной трудоёмкости и ускоренное освоение навыков. Понимание и сознательное внедрение механизмов потока помогает сделать научную работу более продуктивной и приятной, а также способствует профессиональному и личностному росту.

Условия потока (определение)

Представим себе, что мы занимаемся той или иной деятельностью в течение определённого небольшого периода (например, одного часа). Вот ключевые условия, необходимые для появления состояния потока:

1. Баланс между сложностью задачи и уровнем собственных навыков. Чуть сложнее обычного, чтобы не заскучать, но и не слишком сложно, чтобы не вызвать тревогу.

Например, в математике, особенно исследовательской, изначальная неопределенность высока. Но когда она воспринимается нами как вызов, а не как угроза, и когда у нас достаточно навыков, возникает состояние потока. Баланс сложности/навыка здесь особенно тонок. #толерантностькнеопределённости

2. Наличие ясных целей, находящихся под нашим контролем. Должны быть четко определенные правила игры (критерии выигрыша/победы/успеха) и чувство, что исход напрямую зависит от наших действий и решений.

3. Возможность получения незамедлительной обратной связи. Необходимо мгновенное ощущение приближения к цели и потенциала успеха. (В этом случае поведение можно изменить по мере необходимости.)

В математике обратная связь может выглядеть так:
▪️увидевшаяся закономерность
▪️понимание, почему предыдущий подход не сработал
▪️ощущение "вот оно!" при нахождении ключевой идеи
▪️четкое видение следующего шага после текущего.
Эти моменты инсайта являются мощнейшей формой незамедлительной обратной связи и сильнейшими триггерами/подкреплениями потока. #интуиция

4. Активная вовлечённость в процесс и высокая концентрация. Деятельность должна быть сфокусированной, а наше участие — активным (не пассивным).

Что такое «оптимальное переживание» (старая версия; новая)

Оптимальное переживание — это устойчивое эмоциональное состояние глубокой концентрации и вовлечённости в деятельность, когда человек ощущает себя максимально продуктивным и мотивированным. Концепция впервые была сформулирована Михаем Чиксентмихайи в 1975 году и подробно описана в его монографии «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990).

Люди, испытывающие оптимальное переживание, эффективнее совершенствуют свои навыки и получают возможность браться за всё более сложные задачи, что приводит к ощущению счастья и способствует росту и развитию их личности.

Во время интервьюирования испытуемых, проведённого М. Чиксентмихайи, несколько людей описали свои оптимальные переживания метафорой несущего их потока, поэтому рассматриваемое состояние получило название «потока» (flow).

Оптимальное переживание

1. Когда вы последний раз настолько погружались в математическую задачу, что теряли счет времени? Что вы чувствовали? Как это повлияло на результат и ваше восприятие сложности?
2. Можно ли организовать процесс занятий математикой так, чтобы он требовал меньше волевых усилий и приносил больше удовлетворения? Как превратить борьбу в увлекательное путешествие?
3. Как преодолеть внутреннее сопротивление перед сложной задачей или страхом неудачи? Существует ли состояние, где эти барьеры ослабевают?
4. Почему одни задачи кажутся "неподъемными", а над другими можно биться часами с азартом, не чувствуя усталости? Существует ли оптимальное психическое состояние для математической работы?

Гипотеза. Наиболее эффективным (в плане продуктивности, мотивации и снижения субъективной сложности) для занятия математикой эмоциональным состоянием (mental state) является «оптимальное переживание» (flow).

(3/3) Очень важно, читая книгу, думать над упражнениями и заданиями. По­ видимому, вы сможете ответить на большинство несложных вопросов. Но если вам не удастся справиться с остальными, то огорчить вас это должно не больше, чем неудачная попытка с ходу ответить на внезапно появив­шийся вопрос.

В нашей книге есть и другого сорта отступления от дедуктивной схемы. Например, на интуитивном уровне многообразия и геометрические струк­туры обсуждаются в первых двух главах, хотя их точные определения и основные свойства появляются лишь в третьей главе. Эти определения тяжеловаты для понимания, если перед глазами нет хороших примеров. Понятие орбифолда появится лишь в пятой главе второго тома, хотя оно и важно для материала четвертой главы. Но иногда для удобства ссылок, мы изменяем нашему принципу примата психологического над логическим. Так, например, глава 2 содержит более полное изложение гиперболической геометрии, чем требуется в книге на этот момент. Поэтому читатель может здесь кое-что пропустить, в дальнейшем возвращаясь к этому материалу по мере необходимости.

Очень часто начинающий бросает чтение, если попадает в дебри неиз­вестных терминов и непонятных обозначений. С учетом нелинейного ха­рактера изложения, принятого в книге, вы наверняка столкнетесь с незна­комыми терминами, которые до этого в тексте не встречались. И в этом случае не огорчайтесь: полезно бывает почитать дальше, а потом вернуть­ся к фрагменту, который вас «держит». Некоторые понятия определены в словаре терминов. Перед ними поставлен знак звёздочки.
#толерантностькнеопределённости

(2/3) Математика — это громадная структура с очень сильными взаимодей­ствиями. Эта структура нелинейна. Поэтому читатель математического текста должен быть особенно активным, задавая вопросы, продумывая связи текущего сюжета с другими известными ему идеями, и таким путем формируя собственное представление о предмете в целом, а не просто знакомясь с какой-то одной его стороной. Книга предполагает, что ее читатель будет временами останавливаться, оглядываться и исследовать местность. Я надеюсь, что вы не пожалеете времени на то, чтобы выра­ботать свое собственное видение предмета, взаимосвязей его частей и его связей с другими областями математики.

Представьте себе детский конструктор. Его главная идея — это просвер­ленные планки, соединяя которые винтиками, вы можете создавать более сложные модели. Ни одна область математики не полна и не замкнута в себе — скорее, она полна «дыр», а точнее, естественных вопросов, на кото­рые ее методы ответить бессильны. Именно эти дыры и позволяют иногда соединить две на первый взгляд никак не связанные области математики. Но ради гладкости изложения этим «дырам» не остается места в матема­тических текстах. Только что хорошего в конструкторе, планки которого забыли рассверлить?

В нашем тексте все «соединительные отверстия» собраны в упражнени­ях, вопросах и задачах. Большинство из них мало похоже на упражнения типа прогулки с собакой, которую ведут на поводке. Возможно, вы не смо­жете ответить на некоторые вопросы, даже если вы полностью понимаете текст. Некоторые вопросы опережают события и связаны с идеями, кото­рые детально обсуждаются позже. Другие же имеют дело с вещами, кото­рые принято оставлять в качестве «упражнения для читателя». Наконец, есть и такие вопросы, цель которых — перебросить мостик между тем, что обсуждается в книге, и тем, что осталось вне ее. #наведениемостов

Советы читателю

фрагмент из книги
«Трёхмерная геометрия и топология»
Уильяма Тёрстона

>(1/3) Стиль изложения, принятый в этой книге, можно, вероятно, называть экс­периментальным. Наиболее эффективные логические подходы к предмету обычно сильно отличаются от психологически комфортных способов его изучения. В ма­тематической литературе, как правило, преобладает дедуктивный подход, когда дается большое количество определений (без примеров, их моти­вирующих) либо большое количество ответов (без вопросов к ним). А в результате у читателя, впервые знакомящегося с предметом, нет свобо­ды выбора, и он пассивно плетется за автором, свято веря, что усилия затрачиваются ради чего-то стоящего. #обучениедвижимоевопросами #чтение

7. Рекомендуемый протокол общения. Пишите письмо, что хорошо бы поговорить, ваш научный руководитель всегда с удовольствием найдёт время (если он не в городе, можно по скайпу или в любом мессенджере).

За ваши курсовые и дипломы ответственны вы сами. То есть если задача кажется вам неинтересной, или сложной, или плохо подходящей для диплома — говорите руководителю, найдёт другую задачу. Впрочем, другие задачи могут оказаться столь же неподходящими. Всегда можно сменить научного руководителя (и в этом нет ничего плохого, наоборот — обязательно надо учиться у разных людей), он ничуть не обидится. Но в этом случае, сообщите ему (см. след пункт). #выборнаучногоруководителя

Не пропадайте на долгое время, потому что ваш руководитель чувствует ответственность за вас: вдруг у вас депрессия из-за задачки или ещё что. Печаль и фрустрация нормально, а прокрастинация в течение месяца — нет.

Идеальным кажется встречаться раз в неделю-две, и обсуждать прогресс. Особенно если прогресса нет, надо встречаться. А если прогресс есть, то можно и не встречаться — если работа отлично идёт без научного руководителя, так это мечта и цель. Будет прикольно, если вы будете писать руководителю раз в неделю-две (например, в какой-то фиксированный день) какие есть продвижения, или с чем затык, если продвижений нет. Это очень полезно.

Ходите на семинары, читайте книжки, интересуйтесь разным. Проявляйте инициативу, в общем. Если на семинаре ничего не поняли, попросите соседа пересказать. Если никто не понял, не стесняйтесь спросить старших. Я на семинарах очень часто ничего не понимаю. И часто находится человек, который за пять минут пересказывает всё существенное гораздо лучше докладчика.

Имейте в виду, что ваш руководитель не будет за вас решать задачки. Обсуждать, выслушивать ваши идеи, делиться своими соображениями, помогать писать и читать тексты — это он может. Но когда вы его не видите, скорее всего, о задачке он не думает. У него свои есть.

Никита Калинин

6. Ознакомительные, решаемые и открытые задачи. Исследовательские задачи (например, для курсовой или диплома) бывают разные:

🟢 Ознакомительные. В чём-то поразбираться, почитать статьи, разобрать примеры. Не предполагается получения новые научных результатов, планируется переоткрытие старых. Но в процессе занятий постоянно пытаемся придумать осмысленные вопросы, на которые можно ответить, и иногда придумывается что-то, над чем радостно думать

🔵 Решаемые. Мы можем примерно представлять, как задача решается и насколько она трудна, и при некотором труде точно получатся какие-то результаты, но, возможно, не фантастические. По формальным требованиям идеально подходит для дипломной работы.

🔴 Открытые. Никто (или хотя бы мы) не знает, как решается задача. Зато есть шанс продвинуться в открытой известной проблеме, за что математическое сообщество осыпет вас ништяками.

Возможны и многочисленные промежуточные варианты. Проблема заключается в том, что хорошие решаемые задачи на дороге не валяются, преподавателю придумать их не так просто. Обычно такие задачи лежат близко к интересам преподавателя, а интересы можно узнать, посмотрев на опубликованные работы.

Ознакомительные задачи придумать легко — есть много красивых классических сюжетов, на пути к пониманию которых можно выучить полезные интересные вещи. Открытых известных задач тоже довольно много. Если ваш научный руководитель способен подобрать сюжет на одну тему, который начинается с ознакомительной задачи, переходит в решаемую, и завершается известной интересной открытой — это очень круто.

5. Ожидания от работы. Как и в любом человеческом общении, проблемы возникают, если вы ожидаете от научного руководителя одного поведения, а оно не такое, научный руководитель от вас что-то ожидает, а вы делаете не то, и так далее. Здесь есть только один универсальный рецепт — нужно не бояться это обсуждать, как с научным руководителем, так и с друзьями, старшекурсниками, руководством факультета (кураторами) и так далее. Может оказаться так, что научный руководитель ожидает невозможного (для вас).

В частности, поэтому, никогда не стесняйтесь говорить, что вам что-то непонятно, не бойтесь просить научного руководителя (да и вообще кого угодно) что-то объяснить. Всё знать и понимать невозможно, поэтому непонимание не является чем-то стыдным. Далее, если вы не понимаете каких-то базовых вещей, научному руководителю лучше узнать это как можно раньше и объяснить вам (или сказать где прочитать), чем после того как у вас полгода ничего не будет получаться по причине непонимания базовых вещей.

Например, в 2021г на МКН формальные требования такие:
▪️И на 2, и на 3 курсе курсовая работа оценивается зачетом.
▪️На 2 курсе курсовая может быть реферативной (в реальности изучение материала под какую-то конкретную задачу). На 3 курсе хочется, чтобы студент что-то доказал сам или применил математику в другой области.
▪️Применение серьезной математики вне математики приветствуется. Применение несерьезной математики вне математики сойдет за курсовую, но надо думать, чтобы в дипломе было что-то посущественнее, чем построение мат.модели и применение условного метода наименьших квадратов.
▪️Стипендия на 4 курсе выдается по результатам конкурса курсовых работ 3 курса, так что качество курсовой работы 3 курса имеет значение для студента.
▪️С формальной точки зрения курсовая работа — это практика: попрактиковался, руководитель остался доволен — получай зачет.
▪️На программе "Математика" каждый студент должен написать текст своей курсовой работы, и этот текст должен быть прочитан и одобрен Вашим научным руководителем. Если Вы что-то доказали, то понятно, что за текст. Если читали книжку, напишите решение каких-нибудь упражнений. Если не решали упражнений, напишите реферат того, что прочитали. Не обязательно много писать — пары страниц теховского текста вполне достаточно. Больших объёмов от Вас никто не требует.
▪️Оценка курсовой (зачет-незачет) — полностью в ведении научного руководителя.

4. За что ставится зачёт по курсовой и что нужно сделать для диплома. Обычно курсовая заключается в том, что надо решить задачку. Фраза для получения курсовой такая: подходите к человеку и говорите: нет ли у Вас задачки порешать для курсовой?

У всех критерии разные. На втором курсе курсовая может заключаться в том, чтобы прочитать статью или книжку, разобраться в конкретной теореме, решить упражнения или посчитать что-то для конкретных примеров.

На третьем курсе всё то же самое, но сложнее, нужно подоказывать уже каких-то своих теорем. То, что надо доказывать, научный руководитель может сразу сказать на первой встрече, а может быть какие-то гипотезы будут результатом долгих обсуждений и плодом дискуссий. Может оказаться, что вообще даже понимание, что(!) нужно делать, у вас появится после многократных встреч с руководителем.

Для диплома обычно требуется доказать какие-то новые теоремы, пусть и не известные открытые гипотезы (хотя и такое бывает). Диплом может вырастать из курсовых (на предыдущих годах), а может быть решением отдельно взятой задачи. За месяц диплом обычно не пишется, хотя самое решение задачи может прийти в течение одного дня. Просто этому дню обычно предшествуют месяцы или недели бесплодных попыток. Но, конечно, всё это индивидуально.

3. Что делать, если курсовая не получается. Пообщаться с научным руководителем. Попросить подсказку. Если совсем ничего не получается, можно сменить научного руководителя, взять курсовую у кого-то другого.

Вообще, наука — риск. Если научный руководитель не знает как решается ваша задача, вы можете её и не решить. Поэтому, если уж вы берётесь за открытую проблему, то можете это делать не в рамках курсовой, а просто как хобби, а для курсовой делайте что-нибудь, про что научный руководитель знает, что оно должно получиться. #толерантностькнеопределённости

Если вы самостоятельно решите какую-то важную открытую проблему (даже без научного руководителя), почти всегда можно её зачесть в качестве курсовой.

2. Как выбрать научного руководителя. Если вы уже знаете, что вам интересно, ищите научного руководителя, который этим занимается. Если не знаете, можете посмотреть на спецкурсы, которые читаются на факультете, на статьи, которые пишут сотрудники, и так далее. Спросите у старшекурсников, у лекторов.

Однажды взяв курсовую, стоит над ней трудиться. Можно брать курсовые сразу у нескольких преподавателей. Сделав курсовую у одного преподавателя, вовсе не обязательно диплом писать у него же.

Зачем вообще нужен научный руководитель? Сузить направление взгляда — дать конкретную задачу или статью для изучения. Сориентировать в литературе. Подсказать как лучше читать, как понять; в общем — ответить на методологические вопросы. Обсуждать. Высказывать своё мнение о том, как редактировать и писать текст. Оценивать текст. Проверить, что вы поняли.

Почти любая курсовая или дипломная работа состоит в решении сначала простых задач, потом сложнее, потом содержательных. Поэтому не стоит исчезать после получения курсовой и появляться в конце семестра. Может оказаться так, что вы получили предварительный вопрос, после решения которого и будет выдана курсовая. В общем, настраивайтесь на общение, и на то, что научного руководителя надо будет ловить. У взрослых людей есть много срочных важных скучных дел. #выборнаучногоруководителя

1. Научная деятельность. Все вы (студенты), если смогли пережить 1-2 сессии, потенциально способны к научной работе. Однако, кто из вас станет учёным, сказать сложно — это зависит от многих факторов (вашего интереса, трудолюбия, удачи, внешних обстоятельств в конце концов).

Курсовые и дипломная работа в конце обучения — шанс попробовать позаниматься исследовательской работой. Чем бы вы потом не занимались (наукой, программированием, бизнесом, гос.службой), опыт самостоятельного исследования и совершения пусть маленьких, но своих, открытий, вам пригодится.

Почти все так или иначе получают зачёт за курсовые и пишут дипломы, то есть сверхусилия тут необязательны, достаточно добросовестно заниматься и тратить на это достаточно времени.

Вместе с тем, при усердии и доле удачи можно совершить какое-то небольшое научное открытие и обнаружить то, что до вас никто в мире не знал. Многие известные учёные уже в студенческие годы получали важные научные результаты.

Что такое курсовая и зачем она нужна + возможные проекты

1. Научная деятельность
2. Как выбрать научного руководителя
3. Что делать, если курсовая не получается
4. За что ставится зачет по курсовой и что нужно сделать для диплома
5. Ожидания от работы
6. Ознакомительные, решаемые и открытые задачи
7. Рекомендуемый протокол общения

Также внутри: некоторые конкретные задачи

5 способов найти научного руководителя: https://telegra.ph/how-to-find-an-advisor-08-24

Проявляйте инициативу

Лучший учитель — тот, кто предлагает и внушает слушателю желание учиться самому, а не навязывает догмы. (Эдвард Булвер-Литтон) #выборнаучногоруководителя

Обращаясь к своему научному руководителю, не стоит полностью полагаться на него: в конце концов, после окончания вуза вам придется заниматься математикой в основном самостоятельно!

Если Вы чувствуете, что хотите чему-то научиться, что-то сделать или что-то написать, не обязательно согласовывать это с руководителем* — просто идите и делайте это! Так, изучайте библиотеку или Интернет, общайтесь с другими студентами или преподавателями, читайте статьи и книги (как в своей области, так и в близких областях), посещайте школы и конференции и т.д.

Одно из конкретных предложений — подписаться (либо по RSS, либо по электронной почте) на уведомления о новых статьях, появляющихся на arXiv в интересующих вас предметных областях.

В некотором роде, хотя наличие математических образцов для подражания, безусловно, приемлемо, не следует пытаться следовать им слишком безвольно; необходимо выработать свой собственный стиль, используя свои сильные стороны и смягчая свои слабые стороны, которые не будут идентичны тем, что были у образцов для подражания. В конечном счете, лучше следовать математике, чем математику.

*Хотя в некоторых случаях другие приоритеты, например, написание дипломной работы, могут оказаться временно более важными, и, конечно, вы должны держать своего руководителя в курсе того, чем вы занимаетесь в математическом плане.

Терренс Тао (источник)

Общайтесь с вашим научным руководителем

Говорить — удел знания, а слушать — привилегия мудрости. (Оливер Уэнделл Холмс, "Поэт за столом для завтрака")

Ваш научный руководитель — один из лучших источников рекомендаций, который не только непосредственно помогает вам в выборе темы исследования, но и направляет вас (как явно, так и неявно) к соответствующим исследователям, конференциям, публикациям, открытым проблемам, фольклору и другим полезным математическим материалам. Кроме того, ваш руководитель хорошо знает вашу ситуацию и может дать совет по поводу карьеры с учетом ваших сильных и слабых сторон (в отличие от общих советов, приведенных на этих страницах). #выборнаучногоруководителя

Если ситуация доходит до того, что вы активно избегаете своего руководителя (или наоборот), это очень плохой знак. В частности, вы должны быть в курсе расписания своего руководителя, и, наоборот, ваш руководитель должен знать, когда вы будете свободны на кафедре и над чем вы сейчас работаете. По тем же причинам следует заранее предупредить научного руководителя, если вы хотите надолго отвлечься от учебы. Если ваш руководитель недоступен, вы должны регулярно обсуждать математические вопросы хотя бы с одним другим математиком*, желательно опытным.

Конечно, не стоит полагаться только на своего научного руководителя, необходимо и самому проявлять инициативу в вопросах своей математической карьеры.

*Нередко у студента есть как формальный руководитель, который занимается всей официальной бумажной работой, так и неформальный, с которым он обсуждает вопросы исследования и карьеры

Терренс Тао (источник)

20. Если все вышеперечисленное не помогло, есть один безотказный метод: выберите научного руководителя случайно. Главное — не забыть, кто им оказался!

А. Ю. Авдюшенко и Р. В. Бессонов
10 апреля 2020г

19. Не стоит обсуждать с научным руководителем ничего, кроме самой курсовой. Поговорив с ним несколько раз о жизни и получив дельные советы, придется либо честно заняться курсовой, либо мучаться угрызениями совести