Геометрия от Волчкевича

ЕГЭ

Предлагаю очередную задачу для тренировки в формате Единого экзамена. На глаз кажется, что на данном рисунке одновременно отрезок PN параллелен катету ВС и равны отрезки АМ и СМ. Как верно заметил Константин Кноп, этого не может быть. Почему же такой рисунок кажется правдоподобным?

Геометрия и физика

В апреле я прочитал в Нижнем Новгороде и Технолицее под Москвой лекции о связи физики и геометрии. Эти связь содержательна и поучительна. Начнем с того, что все великие ученые XVII века были в равной степени физиками, математиками и геометрами. Галилей, Торричелли, Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Бернулли, Ньютон занимались разгадкой законов природы — их так и называли «Натуральными философами». Методы решения задач о преломлении света, свойствах циклоиды, самой быстрой горке, часах и маятнике, законах тяготения были по большей части геометрическими.
Природа всегда давала пищу для лучших умов и ставила реальные задачи, у которых часто находились хорошие решения. Интересно, что некоторые явления дают «физические» доказательства геометрических фактов, которые интересно рассматривать параллельно с чисто математическими их доказательствами. Причем, многие такие рассуждения доступны школьникам. Это метод рычага Архимеда, принцип минимума энергии, притяжение заряда к металлическим поверхностям, притяжение массивных шаров, законы отражения и преломления света и многое другое. Заканчивается презентация парадоксальной связью числа Пи и ускорения свободного падения с выбором Гюйгенсом универсальной единицы длины для секундного маятника. Именно ее взяли за основу французские ученые в эпоху Великой революции, когда стали зачем-то делить Земной меридиан на 40 миллионов частей и так установили метрическую систему.

ЕГЭ+

Предлагаю свою очередную задачу в стиле Единого Экзамена. По сравнению с ним она более сложная, но для математических классов России будет в самый раз. Геометрические задачи профильного ЕГЭ пока решают немногие абитуриенты на родине, но школьникам Европы и Америки, обычно они вообще не по силам.

ЕГЭ

Единый экзамен по профильной математике не за горами, поэтому ученикам выпускных классов пора пристегнуть ремни — они входят в зону турбулентности. В качестве подготовки к этим испытаниям я предлагаю им хорошую задачу по геометрии. Ее уровень чуть выше боевого экзамена, хотя каждый год в этом смысле всегда приносит новые сюрпризы. Сразу скажу: ответ в этой задачке тоже хороший:)

Методичка

По просьбам учителей продолжаем выкладывать рекомендации по проведению уроков по нашему учебнику. На этот раз это методичка к параграфу касательные 8 класса. Касательную к окружности можно определять по разному: можно сразу написать, что касательная — это прямая, перпендикулярная радиусу и проходящая через его конец на окружности. Так проще и так сделано в курсе Погорелова. Однако в нашем учебнике касательная определяется как прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. То есть она является секущей в предельном положении, когда точки пересечения сливаются в одну. Так сделано для того, чтобы подчеркнуть неочевидность свойства касательной. Иначе важный геометрический факт сваливается на голову учеников без особых пояснений, можно сказать, «заметается под ковер». Кроме того, само доказательство поучительно и показывает мощь метода симметрии. Ровно так же доказываются свойство касающихся окружностей, двух шаров, шара и поверхности конуса и т. д.
В этом параграфе много задач на отрезки касательных и применение теоремы Пифагора для конфигураций окружностей и касательных.

Методичка

По просьбам учителей продолжаем выкладывать методические материалы к нашему учебнику. Сегодня в ней речь пойдет о параграфе «Снова об окружности» 8 класса. В курсе учебника 7—9 окружность проходится по сути 3 раза: первое знакомство с ней происходит в 7 классе на уровне определения и равенства треугольников, второе — весной 8 класса, и третий — в середине 9 связано с подобием.
Первая часть параграфа посвящена повторению определений окружности, свойств ее диаметра и серединных перпендикуляров к хордам, потом добавляются понятия дуги, сектора и сегмента, теорема о высотах треугольника. Новые задачи опираются на средние линии треугольников и теорему Пифагора. Параграф завершает окружность 9 точек и историческая справка о Леонарде Эйлере.

Равные круги

Первый пункт этой задачи я предложил на олимпиаду по геометрии около 10 лет назад. Сейчас я предлагаю вам над ней подумать и доказать формулу для радиуса таких кругов. Как изменится эта формула, если треугольник не будет прямоугольным?

Три квадрата

Эту задачу я составил как вариацию одной задачки, которую мы разбирали с 7 классом на этой неделе. Думаю, что в таком виде она больше подойдет для учеников 8 класса.

2 и 9

В это воскресенье состоится устная олимпиада по геометрии для школьников 8—11 классов. В отличие от обычных олимпиад, на ней иногда предлагают задачи на построение. Например, похожие на эти две задачи. Первую из них ( простую и красивую) придумал Константин Кноп, а вторую ( более сложную) я составил по аналогии с ней. Попробуйте решить эти задачи и приходите на олимпиаду в День Космонавтики!

Неравенства с эллипсом

Предлагаю вашему вниманию неравенства, связанные с эллипсом. Длина его кривой является эллиптическим интегралом и поэтому никак не помещается в школьную программу. А данные неравенства можно получить вполне элементарно, если использовать изопериметрическое свойство круга и формулу для площади эллипса через длины половин его осей ( такую формулу тоже легко получить элементарно через площадь проекции плоской фигуры).

Земной месяц

Эта удивительная фотография Земли сделана два дня назад с космического корабля «Орион», летящего к Луне. На ней наша голубая планета видна как месяц на черном небе. Определите по этому фото, под каким углом оно было сделано к лучам Солнца.

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к нашему учебнику. На этот раз разбираем теорему Пифагора.
Эта теорема — одна из самых важных метрических теорем геометрии на плоскости. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника были известны еще в древнем Вавилоне и Египте, а вот доказательство такого соотношения, похоже, первым получил Пифагор.
В дар богам за это открытие его школа принесла огромную жертву — гекатомбу, то есть Пифагор повелел забить сотню быков. Скорее всего, потом пифагорейцы устроили пир и накормили мясом этих быков целый город Кротон.
Древние понимали теорему Пифагора на языке площадей, поэтому первое доказательство в нашем учебнике классическое. Но знаменитую теорему можно легко доказать и с помощью подобия частей прямоугольного треугольника. Так получается обобщенная теорема Пифагора.
Также приводятся доказательство Евклида и рисунок к доказательству Леонардо да Винчи — повторить его рассуждение предлагается в качестве упражнения.

Петля на конусе

Вчера я прочитал лекцию о связях геометрии и физики для учителей двух этих предметов в Нижнем Новгороде. Презентацию к ней я выложу в следующем посте. А пока предлагаю вам подумать над одной из лучших задач, показывающих такую связь. Это задача по механике, которая родилась прямо на моем уроке геометрии в 11 классе. Случилось это больше 20 лет назад. С тех пор я давал задачу про петлю на конусе многим людям: школьникам, студентам, кандидатам и докторам наук. И далеко не все решали ее правильно. Один мой одноклассник, ныне профессор топологии на западе, неожиданно позвонил мне среди ночи и сказал, что решил мою задачу прямо как Архимед! Дело в том, что в этот момент он принимал ванну:)

Кий и три шара

Предлагаю свою задачу из материалов 11 класса на касание круглых тел. При правильном подходе она может быть решена практически устно. Попробуйте ее сделать за 5 минут в уме, а потом уже берите бумагу и ручку:)

Черно-белое танго

Эту песню я сочинил больше 20 лет назад и посвятил ее Астору Пьяццолла — королю аргентинского танго, благодаря которому эта музыка стала классикой.
В прошлом году я записал свое ЧБТ со скрипкой, фортепьяно и бандонеоном — как положено в жанре «танго нуэво», и недавно выложил на музыкальные платформы.

Послушайте мое Черно-белое танго и поддержите его лайками! Не кажется ли вам, что в нем, как в шкатулке времени, умещается весь XX век?

https://band.link/uCXaa

ЕГЭ +

Предлагаю очередную задачу в формате Единого Экзамена по математике. Выпускники хорошо знают, что он уже не за горами:) Эта задача немного сложнее тех, которые обычно предлагают на «боевых» экзаменах. Но, как говорил незабываемый Александр Васильевич: «Тяжело в учении — легко в бою».

4 квадрата

Эту задачу с четырьмя квадратами легко решить, используя идею предыдущего поста. Попробуйте это сделать!