Геометрия от Волчкевича

Четыре отрезка

Эта задача — интересная вариация хорошей простой задачи, предложенной недавно на кавказской математической олимпиаде. При правильном подходе ее тоже можно решить устно. А интересное следствие из неё я опубликую в следующем своем посте.

Концерт

Во вторник прошел наш концерт в клубе Пушкарев. На нем было много весенних песен — наконец в Москву пришла настоящая весна. На этот раз мы играли в малом составе: на гитаре — ваш покорный слуга, на клавишах — Мария Розанова и моя жена Анастасия на кахоне.
Спасибо всем, кто пришел: друзьям, ученикам, коллегам, знакомым и незнакомым. Был хороший звук, полный зал и большая программа в двух отделениях. Все диски и книжки моих стихов раскупили — нужно брать их больше. Приходите еще — у нас красивая акустическая музыка и хорошие тексты:)

Параллелограмм в треугольнике

Предлагаю хорошую задачу на подобие треугольников. Она подойдет для учеников 8—9 классов. А так как ее формат соответствует задачам ЕГЭ по геометрии, то эта задача также будет хороша для подготовки к поступлению в ВУЗ. Должен сказать, что ее пункт В) несколько сложнее других. А вообще эта конфигурация содержит много интересных фактов. Например, отрезок ЕТ всегда параллелен одному направлению в треугольнике :)

Геометрия от Волчкевича pinned a photo

Тарелки в коробке

Эту задачу с подарочной коробкой я предлагаю читательницам нашего канала:) Две круглые тарелки на ее дне напоминают число, которого весной ждут все женщины. Пусть на этих тарелках с голубыми каемками судьба принесет исполнение всех ваших желаний!

Центр масс дуги и неравенства

Выкладываю решение для нахождения центра масс дуги окружности и доказательство неравенств. Такой способ не использует интеграл и по сути основан на решении функционального уравнения, которое элементарно получается из соображений симметрии дуги окружности. Эти рассуждения вполне доступны ученикам 9—10 классов, которые уже знакомы с тригонометрией. Для полной строгости нужен первый замечательный предел, хотя обычно он не вызывает проблем с пониманием — достаточно здравого смысла. Интересно, что точно так же можно получить формулы для центра масс сектора круга. Более того — из этого можно рассчитать центр масс половины плоского эллипса.

Техника Акварели

Так называется книга моих стихов, многие из которых стали песнями. В некотором смысле так же я работаю с музыкой и словом.
Год назад 10 марта я вышел из больницы, в которой неделю был между жизнью и смертью, можно сказать, заново родился. Теперь 10 марта я приглашаю вас всех на свой концерт в кафе Пушкарев — приходите, не пожалеете. Но должен предупредить: мои песни — это не музыка для ног, скорее они — бальзам для души:)
А вот ссылка на билеты:

https://moscow.qtickets.events/217158-10-marta-maksim-volchkevich-tekhnika-akvareli-pushkarev

Круги над квадратом

Предлагаю подумать над такой задачей комбинаторной геометрии: 3 равных круга целиком накрывают единичный квадрат. Каков их наименьший радиус?
Здесь интересно додуматься до оптимального расположения нужных кругов, но и само собой — привести доказательство этой оптимальности.
Аналогичная более простая задача помещена под пунктом А) этого поста.
При желании продвинутые читатели могут подумать над аналогами данной задачи для четырех или пяти кругов, или вообще заменить квадрат на правильный треугольник.

Центр масс дуги и неравенства

Центр масс половины окружности из однородной проволоки обычно считают через интеграл. Оказывается, его можно найти из соображений симметрии, если применить первый замечательный предел (суть его в том, что синус угла, близкого к нулю, в пределе не отличается от величины самого угла). Аналогично легко получить центр масс дуги окружности.
Интересно, что рассмотрение центров масс таких дуг позволяет доказывать далеко не очевидные неравенства для углов и их синусов. Я предлагаю вам это тоже сделать:)

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, выкладываем методические рекомендации к параграфу 8 класса «Методы площадей».
Все расчеты частей треугольника, на которые он разбивается своими чевианами, можно находить по отношениям на его сторонах без применения подобия или теоремы Менелая буквально в течение минуты.
С помощью площадей легко доказать свойство биссектрисы треугольника, замечательное свойство трапеции или теорему о пропорциональных отрезках. Именно так поступали древние греки — они использовали площадь постоянно для доказательств и расчетов, даже суммы целых чисел записывали через неё.
Также в параграфе рассматривается отношение площадей подобных фигур и метод суммирования площадей частей четырехугольников.

Пять параллелограммов

Предлагаю задачу по следам моего доклада о параллельной проекции. В любой эллипс можно поместить такую «гармошку» из пяти параллелограммов. Интересно, что их площади всегда относятся друг к другу одинаково. Чему равны эти отношения?

18 параллелограммов

Предлагаю свою новую задачу на хорды окружности. Она подойдет для учеников 8 и 9 классов. Кроме того, такой формат наверняка будет хорош для теста с выбором ответа.

Геометрия от Волчкевича pinned a photo

Параллельная проекция

Появилось видео моей лекции о параллельном проектировании в МЦНМО. Презентация к нему в соответствующем посте выше. Примерно половина этого материала войдет в новый учебник по стереометрии для 10 класса. Остальное можно использовать на занятии кружков по математике https://youtu.be/6COlDaNrsKM

Три построения

В нашем канале давно не было построений циркулем и линейкой. Три предлагаемые вам задачи я придумал и специально расположил по принципу «от простого — к сложному». Первая из них доступна любому ученику 8 класса и требует просто немного сообразительности. А вот вторую и особенно третью задачи решить «от печки», скорее всего, не получится. Они требуют некоторых общих знаний, о которых, например, я рассказывал в своем докладе неделю назад. Впрочем, вы можете попробовать обойтись и без них — если один по горам ходит пешком, то другой может подняться по вертикальной стене:)

На одной прямой

Предлагаю еще одну конструкцию из четырех правильных фигур и одного круга. На глаз кажется, что три отмеченные точки лежат на одной прямой. А что скажет об этом точная геометрия?

Квадрат и круг

Предлагаю простую задачу для 8 класса. Для ее решения даже не обязательно знать теорему Пифагора.

Методичка

В помощь учителям, работающим по нашим учебникам, выкладываем методические рекомендации к параграфу 8 класса "Площадь". Площадь - очень естественная вещь. По словам Геродота именно с измерения площадей наделов вдоль Нила в Древнем Египте и началось землемерное искусство, которое потом было перенесено в Элладу. Эта тема начинается с обсуждения единиц площади, потом с задач на клетчатой бумаге, и только потом проходятся ее основные свойства (аксиомы) и формулы для многоугольников. Также обсуждаются методы дополнительной площади, разбиения фигур на равновеликие треугольники, свойство и признак трапеции. Завершает параграф теорема о равносоставленности многоугольников равной площади.