Центр масс дуги и неравенства

Выкладываю решение для нахождения центра масс дуги окружности и доказательство неравенств. Такой способ не использует интеграл и по сути основан на решении функционального уравнения, которое элементарно получается из соображений симметрии дуги окружности. Эти рассуждения вполне доступны ученикам 9—10 классов, которые уже знакомы с тригонометрией. Для полной строгости нужен первый замечательный предел, хотя обычно он не вызывает проблем с пониманием — достаточно здравого смысла. Интересно, что точно так же можно получить формулы для центра масс сектора круга. Более того — из этого можно рассчитать центр масс половины плоского эллипса.