Центр масс дуги и неравенства

Центр масс половины окружности из однородной проволоки обычно считают через интеграл. Оказывается, его можно найти из соображений симметрии, если применить первый замечательный предел (суть его в том, что синус угла, близкого к нулю, в пределе не отличается от величины самого угла). Аналогично легко получить центр масс дуги окружности.
Интересно, что рассмотрение центров масс таких дуг позволяет доказывать далеко не очевидные неравенства для углов и их синусов. Я предлагаю вам это тоже сделать:)