Математика как практика

В процессе нашего познания законов Вселенной (математических или каких еще) только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Та изначальная невинность, данная нам от рождения, какая обитает в каждом из нас, будучи зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Она одна объединяет смирение и смелость, благодаря которым мы оказываемся способны проникнуть в суть вещей и впустить вещи внутрь себя, проникшись ими.

Эта власть — отнюдь не особый «дар», как, скажем, исключительная способность рассудка усваивать и управляться легко и ловко с впечатляющей массой известных фактов, идей и технических приемов. Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро — «сверх всякой меры».

Все же не эти дары, и не честолюбие даже самое пылкое, поддержанное непреклонной волей к успеху, позволяют перешагнуть «круги невидимые, но властные», ограждающие Вселенную. Только невинность сумеет их преодолеть, сама того не заметив и не слишком о том заботясь, в минуты, когда мы, с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаемся во власть этой младенческой игры целиком...


А. Гротендик ("Урожаи и посевы")

Это как новый тостер, к которому прилагается инструкция на шестнадцать страниц. Если вы уже понимаете что-то про тостеры, и этот экземпляр похож на те, с которыми вы встречались раньше, вы просто включите его в сеть и убедитесь, что он работает, а не будете сначала читать все подробности в инструкции.

Эта метафора заслуживает дальнейшего развития.

Тёрстон говорит, что инструкция бесполезна, если вы уже знаете, что такое тостер. Но если вы не имеете ни малейшего представления о тостерах, много ли пользы вам будет от инструкции?

Несомненно, вы с радостью узнаете, что не стоит совать пальцы внутрь и не нужно использовать его во время купания в ванне, но все эти правила безопасности, которые инструкция приказывает вам ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧЕСТЬ ПЕРЕД ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ, никак не помогут разрешить великую тайну тостеров: зачем они вообще нужны?

Я не нашел инструкцию от своего тостера, зато нашел от пылесоса. В ней 64 страницы, но нигде не объяснено, зачем нужен пылесос. Иначе говоря, если бы мы ограничились официальной литературой, пылесосы создали бы нам огромные проблемы. Было бы несколько счастливчиков, способных к использованию пылесоса (те, кто случайно разобрался, что с ним делать), а остальные остались бы в этом полными профанами. Мы приняли бы это с покорностью судьбе.

Сокровенный смысл пылесосов не содержится в инструкции к ним. Это секрет, который мы передаем в устной традиции. #коммуникация

Но этот основной закон обучения, работающий как для пылесосов, так и для математических теорий, остается неизвестным и забытым.

Великая тайна тостеров

На свете есть не только книги по математике. Есть и другие книги, которые никто никогда не читает с начала. Вот вы читали инструкцию к вашему тостеру?

Вероятно, нет. Может быть, вы машинально открыли ее, пока распаковывали тостер, но скорее всего вы никогда в нее по-настоящему не заглядывали. Разве что, конечно, если у вас возникла проблема с тостером — тогда вы, вероятно, пропустили все предисловия и напрямую отправились на страницу, которая в этот момент вас больше всего интересовала.

Может показаться шуткой, что мы сравниваем математические тексты с инструкциями к тостерам. Но вообще, это очень глубокая мысль. Мы обязаны ею Биллу Тёрстону.

Те‌рстон рассказывает, что, читая научную статью по знакомой тематике, он никогда не читает ее в полном смысле слова. Он предпочитает сосредоточиться на мыслях между строк.

Как только он составляет себе представление о них, весь формализм и подробности структуры статьи вдруг кажутся ему ненужными и избыточными:

Мне было бы проще всё написать с нуля, чем пытаться понять, что на самом деле хотели сказать авторы.

Не стоит прятать голову в песок. Понять те четыре–пять строк, которые нас интересуют, будет очень сложно, особенно если они где-то в середине книги. Возможно, мы проведем над ними несколько часов. Каждая страница книги по математике очень трудна для понимания. Якобы простые, но на самом деле скучные предварительные пояснения понять ничуть не проще.

В конечном счете, страница, которая больше всего нас интересует, с большой вероятностью окажется для нас наименее сложной. Во-первых, она нас интересует — а когда интересно, все намного проще! Во-вторых, она неизбежно связана с чем-то, что мы уже понимаем, — иначе она бы нас не интересовала. #наведениемостов

Следовать своему желанию — единственный способ по-настоящему дать ему шанс осуществиться. Начинать с начала — значит рисковать все бросить уже на странице 2.

В тех четырех–пяти строках, которые нас интересуют, возможно, будут какие-то загадочные слова. Если это мешает нам понять суть, вероятно, мы захотим обратиться к определениям. Прекрасно. Или мы как-нибудь разберемся сами. Тоже отлично.

На самом деле мы можем делать что хотим. Можем листать книгу в течение десяти минут, часа или трех месяцев — неважно. Основной принцип — никогда не заставлять себя следовать порядку страниц, а следовать только порядку собственного желания и любопытства.

Это книга должна служить нам, а не наоборот. Если мы попытаемся читать книгу по математике как «нормальную» книгу, предоставим ей задавать темп и будем ждать, что она будет вести нас за руку и рассказывать историю, ничего не получится. Мы тут не для того, чтобы пассивно слушать. Нам не хватает для этого терпения, и, давайте уж начистоту, нас это не интересует. Мы здесь потому, что у нас есть конкретные вопросы, потому что мы чего-то не понимаем и хотим понять.

В любом случае, книга не должна навязывать нам тему разговора. Вопросы здесь задаем мы. #обучениедвижимоевопросами

По сути, когда берешь книгу по математике, у тебя всегда сидит в голове какая-то мысль. Возможно, мы хотим разобраться в понятии, которое только что где-то увидели, узнать, верно ли конкретное утверждение, или понять, как его доказать. Реально нам нужно, может быть, Определение 7.4 со страницы 138, Теорема 11.5 со страницы 227 или всего лишь один конкретный момент из ее доказательства.

Вот Рафаэль и научил меня отправляться прямо на страницу 138 или 227 и искать те самые четыре–пять строк, которые в этот конкретный момент больше всего меня интересуют, вообще не заботясь о горах предварительных условий, от которых предположительно зависят эти строки.

Вот это и нервирует больше всего. Предполагается, что книга по математике организована логично, и чтобы понять страницу 138 или 227, теоретически следовало бы предварительно понять все, что написано раньше. А значит, линейное чтение должно быть единственно возможным способом чтения. Но на практике этот способ не работает!
#толерантностькнеопределённости

Новая парадигма чтения

Даже если Рафаэль и преувеличивал, по сути он был прав. Книги по математике не созданы для того, чтобы их читать.

У него даже манера держать книги была другой, чем у меня. Он буквально иначе брал их в руки. Рафаэль был первым человеком в моей жизни, кого никогда не пугала математика. Он не видел проблемы в том, чтобы взять 500-страничный том по теме, в которой он ничего не понимал, и раскрыть прямо на середине.

Рафаэль удерживал книги в равновесии на предплечье, взявшись пальцами за верх переплета. Вторая рука оставалась свободной, и он мог очень быстро перелистывать ею страницы. Техника довольно проста. Она заключается в том, чтобы никогда не начинать с начала, а только с того места, которое тебе нужно. Это не техника чтения — это техника не-чтения. #чтение

Осмелиться не читать

Нет. Никому не хватило смелости сказать мне это настолько прямо.

Рафаэль преувеличивал — книги по математике читать можно. Но это против нашей природы и требует необычайного усилия, даже если ты очень одарен в математике. Прочесть книгу по математике почти так же сложно, как и написать.

На то есть веская причина. Открывая книгу по математике, вы открываете книгу, где слова имеют смысл, который вы еще не можете понять. Иногда они имеют смысл только для этой конкретной книги. Для чтения книги нужно понимать слова, которые в ней содержатся. Для этого вам понадобится выстроить внутри себя правильные мысленные образы для каждого слова и сочетания слов. Это требует напряженного усилия, почти такого же, как то, что позволило автору написать эту книгу, и это усилие приведет вас почти к такому же пониманию темы, как у него. #коммуникация

Если вам этого действительно хочется, у вас достаточно времени и книга выбрана правильно, возможно, оно того стоит. Готовьтесь к нескольким месяцам упорного труда. Это испытание сродни обряду инициации — оно преобразит вас. За всю свою жизнь я по-настоящему сумел прочесть всего три или четыре книги по математике. Я не жалею об этом труде. Он придал мне неслыханную силу, словно я глотнул волшебного зелья. Эта сила и сейчас со мной. Но зелье было сложно проглотить.

В начале работы над диссертацией, хотя я официально считался очень способным к математике, а моя работа уже заключалась в создании новых форм математики, я все еще робел перед существующими знаниями.

Стоило мне открыть научную статью, как я застревал на первых же строках. Мне не хватало основ. Я искал их по ссылкам в исходной статье, но эти тексты также было сложно читать. Я шел смотреть, к чему отсылают в свою очередь эти работы. #чтение

Ссылки, ссылающиеся на ссылки, ссылающиеся на ссылки, на которые ссылаются ссылки, — можно продолжать бесконечно. Добравшись таким образом до математики 1950-х годов, я осознал, что уже она для меня непонятна. Углубившись в прошлое еще на несколько поколений, я был погребен под тысячами книг и десятками тысяч научных статей, и все были непонятны. Как я мог надеяться выдумать хоть что-то оригинальное?

Однажды я услышал о недавно вышедшей книге на тему, которая была полезной — но не ключевой — для моего исследования. Все говорили, что эта книга очень понятно и хорошо написана. Мне захотелось ее прочесть.

Через неделю я так и не добрался до третьей страницы. Я был обескуражен и обратился за помощью к моему другу Рафаэлю Рукье, молодому математику-вундеркинду, с которым делил кабинет.

Его ответ отпечатался в моей памяти навсегда:

«Да ты что, Давид! Тебе что, никто не говорил, что книги по математике читать не нужно? Никто не говорил, что читать их вообще невозможно?»

Откажитесь от чтения

Я не коллекционер. Я не нахожу удовольствия в накоплении предметов. Это относится и к книгам тоже — я не раз избавлялся от значительной части своей библиотеки, дарил или перепродавал большинство книг. Я сохранил только те, к которым был особо привязан.

Моя математическая библиотека невелика — меньше ста книг. Мало у кого дома есть сто книг по математике, но у некоторых математиков их намного больше. Я скопил эти книги за время учебы и научной деятельности. Несколько экземпляров мне подарили, потому что я был знаком с авторами. Меньше ста за все эти годы – не так уж много.

Большую часть нужных мне книг я одалживал или читал в электронной форме. Я покупал только те, которые мне очень нравились, которые я хотел иметь у себя или находил действительно прекрасными.

Одна из моих любимых книг, одна из тех немногих, расставание с которыми разбило бы мне сердце, — «Категории для работающего математика» Саундерса Маклейна.

Каждый раз, как она попадается мне, я мысленно улыбаюсь. Эта книга написана в 1960-е годы и остается главным трудом по теории категорий — революционному способу видеть и осмыслять математические структуры, который Маклейн и Самуэль Эйленберг изобрели в 1940-е годы.

Я купил ее 20 лет назад, сразу после защиты диссертации, на первое жалованье доцента в Йельском университете. Немногие книги оставили во мне такой же след. Я нахожу ее великолепной, блистательной, вдохновляющей и на редкость хорошо написанной.

Я так ее и не прочитал.

Третий этап чтения

Для полного понимания статьи требуется третий этап. Он заключается в том, чтобы практически воссоздать работу, то есть независимо восстановить результаты статьи, исходя из тех же предпосылок, что и авторы. Сравнивая своё воссоздание с исходной работой, можно легко выявить не только её новаторские решения авторов, но и скрытые недостатки и допущения. Этот этап требует большого внимания к деталям. Вы должны выявить и оспорить каждое утверждение в каждом высказывании. Кроме того, необходимо подумать о том, как бы вы сами преподнесли ту или иную идею.

Такое сравнение фактического и воображаемого позволяет лучше понять методы доказательства и приёмы изложения авторов, которые вы, скорее всего, сможете добавить уже в собственный инструментарий. Во время этого этапа вы, вероятно, захотите записать идеи для дальнейшей работы.

Этот этап может занять много часов у начинающих и более часа-двух даже у опытного математика. По окончании вы должны быть в состоянии восстановить по памяти всю структуру работы, а также определить ее сильные и слабые стороны. В частности, вы должны уметь выявлять неявные допущения и отсутствующие ссылки на соответствующие работы.

По окончании этого этапа Вы должны быть в состоянии восстановить по памяти всю структуру работы, а также определить ее сильные и слабые стороны. В частности, вы должны быть в состоянии указать на неявные допущения и отсутствие ссылок на соответствующие работы.

Второй этап чтения

На второй стадии прочитайте статью более внимательно, но не обращайте внимание на такие детали, как технические доказательства. При этом полезно записывать ключевые выводы или делать комментарии на полях по ходу чтения. Например, вы можете записать непонятные термины или вопросы, которые вы хотели бы задать автору.

Чтобы узнать больше об истории создания статьи, вы можете отметить себе релевантные литературные источники для дальнейшего чтения.

Второй этап занимает у опытного читателя не более часа. После этой стадии вы должны понять, о чем эта статья. Так, вы должны быть в состоянии кратко изложить кому-либо основное её содержание, подкрепив его подтверждающими соображениями. Данный уровень проработки уместен для такой статьи, которая вам интересна, но не относится к вашей научной специализации.

В некоторых случаях вы не сможете понять, о чем статья, даже после второго этапа. Это может быть связано с тем, что тема статьи нова для вас, в ней присутствует множество незнакомых понятий или принципов. Статья может быть плохо написана, содержать утверждения без доказательства и обещания прояснить что-то позднее (т. е. далее в работе). А может, дело в том, что уже глубокая ночь и вы устали.

Теперь вы можете решить: (а) отложить работу в сторону, надеясь, что для успешной карьеры вам не нужно понимать этот материал, (б) вернуться к работе позже, возможно, прочитав вспомогательные материалы, или (с) проявить настойчивость и перейти к третьему этапу.

Первый этап чтения

Данная стадия — это быстрое сканирование с целью получения представления о работе с высоты птичьего полета. На ней можно решить, нужно ли проходить остальные этапы. Она занимает около 5-10 минут и состоит из следующих шагов:

1. Внимательно прочитайте название, аннотацию и введение.
2. Прочитайте заголовки разделов и подразделов, но игнорируйте всё остальное.
3. Ознакомьтесь с математическим содержанием, чтобы определить лежащую в его основе теоретическую базу.
4. Ознакомьтесь с заключением статьи.
5. Просмотрите ссылки, мысленно отмечая те из них, которые вы уже изучали.

В конце первого этапа вы должны быть в состоянии ответить на следующие вопросы:

• К какому типу относится эта статья? Это обзор научной области? Построение контрпримера к гипотезе? Конкретное вычисление? Обобщение чьей-то работы? Доказательство фольклорного результата для заполнения пробела в литературе?
• С какими другими работами она связана? Какая теоретическая база в ней используется?
• В чем заключается основной вклад этой работы? Новый взгляд на вещи (модель)? Новый способ с ними взаимодействовать (техника)? Новые факты о них (результаты)?
• Качественно ли написана статья?
• Выглядят ли результаты правдоподобными?

Используя эту информацию, вы можете отказаться от дальнейшего чтения, если, например, статья вас не заинтересовала, или ваших знаний недостаточно для анализа деталей. Первого этапа вполне достаточно для тех работ, которые не относятся к области ваших исследований, но могут когда-нибудь оказаться актуальными.

Как читать математические статьи

Математик тратит, как правило, сотни часов в год на чтение статей: для выступления на семинаре, для поддержания квалификации в своей области или для изучения литературы по новому направлению. Умение читать статьи эффективно — важный, но редко преподаваемый навык. Поэтому начинающим математикам приходится учиться самостоятельно, методом проб и ошибок. Часто они тратят на это много сил и разочаровываются.

Чтобы решить эту проблему, используйте следующий простой трёхэтапный метод чтения, который позволяет не утонуть в деталях до того, как вы получите ясное представление о статье. Основная идея заключается в том, чтобы разбить чтение статьи на несколько этапов, а не начинать с самого начала и дочитывать до конца. Каждый этап преследует определенные цели и опирается на предыдущий #чтение

• Первый этап дает общее представление о статье
• Второй этап позволяет понять её содержание, но не детали
• Третий этап помогает глубже понять суть статьи

(источник)

Как читать математические книги

Большинство "классических" книг по математике названы так не потому, что они хорошо излагают сложные абстрактные идеи для непосвященных, а лишь из-за того, что они всеобъемлющи или хорошо структурированы. Порой приступая к чтению таких книг, начинающему математику может показаться, что они написаны для тех, кто уже понимает предмет…

Дело в том, что математические тексты требуют совершенно иного типа чтения, чем художественная литература. Математическую книгу нужно читать не подряд, т. е. с самого начала и до конца, а в несколько этапов или режимов чтения. Используя данный метод, вы можете регулировать глубину погружения в материал в зависимости от ваших потребностей и количества времени. #чтение

Чтение 0 (Read 0)

Не читайте книгу, а узнайте, о чем пойдет речь, из научно-популярной заметки или видео, на Википедии, у друга или научного руководителя. Определите главные вопросы, задаваемые в этой теме, и основные теоремы, которые на них отвечают. Часто наиболее важные идеи излагаются кратко, поэтому вы должны быть в состоянии запомнить их.

Чтение 1 (Read 1)

Позвольте своим глазам перескакивать от определений к леммам и теоремам, не читая доказательств, если только что-то не привлечет ваше внимание или не заинтригует вас. Если в книге есть упражнения, попробуйте по ходу чтения выполнять первое упражнение из каждой главы или раздела.

Чтение 2 (Read 2)

Прочитайте книгу, но на этот раз с доказательствами. Не переживайте, если вам не всё понятно. Если какой-то логический переход не имеет четкого смысла, не стесняйтесь игнорировать его по своему усмотрению, если вам понятен общий ход рассуждений.

Чтение 3 (Read 3)

Читайте через призму скепсиса. Пройдитесь по всем доказательствам, задавая себе все вопросы, которые приходят в голову. На этом этапе у вас не должно возникать вопроса "почему" вы доказываете то, что доказываете. Стремитесь разобрать все детали.

Коммуникация внутри дисциплин и между ними

Большая часть сложности связана с языком и культурой математики, которая разделена на подобласти. Базовые понятия, ежедневно используемые в одной подобласти, часто чужды другой. Математики перестают пытаться понять даже базовые понятия из соседних подобластей, если им не объяснили их в аспирантуре.

Напротив, коммуникация работает очень хорошо внутри подобластей математики. Внутри подобласти люди вырабатывают корпус общих знаний и известных методов. Благодаря неформальному общению люди учатся понимать и копировать способы мышления друг друга, так что идеи можно объяснять ясно и легко.

Математические знания могут передаваться внутри подобласти поразительно быстро. Когда доказывается значимая теорема, часто (но не всегда) оказывается, что решение можно передать от одного человека другому в пределах подобласти за считанные минуты. То же доказательство было бы изложено и в целом понято в часовом докладе для членов подобласти. Оно стало бы предметом статьи на 15 или 20 страниц, которую члены подобласти могли бы прочитать и понять за несколько часов или, возможно, дней. #коммуникация

Почему происходит такое сильное расширение от неформального обсуждения к докладу и к статье? При общении один на один люди используют широкие каналы коммуникации, выходящие далеко за рамки формального математического языка. Они используют жесты, рисуют картинки и диаграммы, издают звуки и используют язык тела. Коммуникация с большей вероятностью становится двусторонней, так что люди могут сосредоточиться на том, что требует наибольшего внимания. С такими каналами общения они гораздо лучше могут передать то, что происходит, не только в их логических и лингвистических способностях, но и в других их ментальных способностях.

Пример Терренса Тао:

"...Однажды я катался по полу с закрытыми глазами, чтобы понять эффект калибровочного преобразования, основанного на подобном типе взаимодействия между разными частотами. (К слову, это конкретное калибровочное преобразование принесло мне премию Бохера, когда я понял, как оно работает.) Полагаю, этот последний пример — тот, который мне было бы сложно объяснить даже моим ближайшим соавторам. Само собой, ни одна из этих аналогий не появляется в моих опубликованных работах..." https://mathoverflow.net/a/38882

В докладах люди более скованы и формальны. Математическая аудитория часто не очень хорошо умеет задавать вопросы, которые есть у большинства в голове, а докладчики часто имеют нереалистичный заранее заданный план, который мешает им отвечать на вопросы, даже когда их задают.

В статьях люди становятся ещё более формальными. Авторы переводят свои идеи в символы и логику, а читатели пытаются перевести обратно.

Почему существует такой разрыв между коммуникацией внутри подобласти и коммуникацией за её пределами, не говоря уже о коммуникации за пределами математики?

Как передаётся понимание математики

Передача понимания от одного человека к другому происходит не автоматически. Это сложно и требует умения. Поэтому, чтобы проанализировать человеческое понимание математики, важно учитывать, кто понимает что и когда

Математики выработали привычки общения, которые часто оказываются неэффективными. Организаторы коллоквиумов повсюду призывают докладчиков объяснять вещи на элементарном уровне. Тем не менее, большинство аудитории на обычном коллоквиуме извлекает из него мало ценного. Возможно, они теряют нить в первые 5 минут, но затем молча сидят оставшиеся 55. Или, возможно, они быстро теряют интерес, потому что докладчик погружается в технические детали, не представив никаких причин для их исследования. В конце доклада несколько математиков, близких к области докладчика, задают вопрос или два, чтобы избежать неловкости. #обучениедвижимоевопросами

Эта модель схожа с тем, что часто происходит в аудиториях, где мы для проформы излагаем то, что, по нашему мнению, студенты «должны» выучить, в то время как студенты пытаются справиться с более фундаментальными проблемами изучения нашего языка и угадывания наших ментальных моделей.

Книги компенсируют это, приводя образцы решения задач каждого типа. Преподаватели компенсируют, давая домашние задания и контрольные работы, которые намного легче материала, «пройденного» в курсе, а затем выставляя оценки за домашние задания и контрольные по шкале, требующей мало понимания.

Мы предполагаем, что проблема в студентах, а не в коммуникации: мол студентам либо просто не хватает способностей, либо им просто всё равно. #коммуникация

Посторонние удивляются этому феномену, но внутри математического сообщества мы отмахиваемся от него пожиманием плеч

Невидимые мышцы ума: интуиция и мысленные рефлексы

Изучение математики преобразует наш разум. Наши умственные навыки развиваются через медленные, пошаговые процессы, которые укореняются в наших нейронных цепях и облегчают быстрые рефлекторные реакции, требующие мало сознательных усилий или внимания. Слепая печать — хороший пример видимого навыка, который становится рефлекторным. Обучение слепой печати требует большой работы, но в ходе этого процесса люди по крайней мере видят, что им нужно освоить. Для меня процесс печати прозрачен. Я думаю о том, что хочу сказать, и переношу это на экран компьютера; я обычно вообще не обращаю внимания на сам процесс печати. Хотя мой сиюминутный мыслительный процесс сложен, он кажется непрерывным. #интуиция

А теперь представьте навык, подобный печати, но не включающий физических движений и не использующий напрямую слова или символы.

Как мы наблюдаем и обучаемся такому навыку — и как мы обсуждаем его?

Такой навык иногда называют интуицией — то есть мощным озарением, которое трудно объяснить. Одна из главных проблем в занятиях математикой заключается в том, что мы склонны не осознавать, что едва определимые навыки важны, что их нужно взращивать и развивать. И все же практика математики требует их. Математические идеи могут быть транскрибированы в символы, организованные в точные описания, уравнения и логические выводы — но такая транскрипция, как правило, далека от мыслительного процесса, порождающего идеи. #коммуникация

Эти типы проблем повсеместны, но не непреодолимы. Математику можно передавать без полной денатурации, если люди настроены на её ментальные измерения. Важная часть решения — вдумчивое чтение рефлексивных текстов. #чтение

Мне жаль, что я не развил навык чтения между строк гораздо раньше. Когда я читаю, я останавливаюсь и спрашиваю:

Что автор хочет сказать?
О чем автор на самом деле думает (если предположить, что это отличается от того, что он изложил в математическом тексте)?
Что я сам об этом думаю?

Я разговариваю сам с собой туда и обратно во время чтения чужого текста. Но главное — дать себе время, закрыть глаза, дать себе пространство, поразмышлять и позволить мыслям формироваться самостоятельно, чтобы оформить мои идеи. #чтение

Чтение между строк

В детстве я был ненасытным читателем. Но когда я начал изучать серьезные математические учебники, я был удивлен тому, как медленно мне приходилось читать, гораздо медленнее, чем нематематические книги. Я не мог просто пробежать текст глазами. Формулировки и символы были тщательно подобраны, и каждый знак был важен. Теперь я читаю иначе.

Я редко трачу время и силы на то, чтобы внимательно следить за каждым словом и каждым уравнением в математической статье. Я пришел к пониманию важности объяснения, скрытого под поверхностью.

Я люблю следовать сигналам, которые направляют меня к неизвестному мне теоретическому фону. Я мало надеюсь на то, что слова станут хорошим представлением реальных идей. Я пытаюсь прорыть туннель под поверхностью и найти кратчайшие пути, проверяя себя достаточно часто, чтобы иметь разумную надежду не упустить главное. Я пришел к выводу, что мечтательность — это не баг, а фича. Если я могу отвлечься достаточно далеко, чтобы обрести перспективу, позволяющую увидеть общую картину, то замечать детали становится одновременно и легче, и менее важно.