Геометрия от Волчкевича

Сюжет с центрами масс

Многие знают, что центр трех равных масс, расположенных в вершинах треугольника, находится на пересечении его медиан. В курсе нашего учебника это обсуждается в 8 и 9 классах сначала по правилу рычага, а потом с помощью группировки векторов.
Можно легко доказать, что точка пересечения медиан является также центром масс однородной треугольной пластины.
Для произвольного четырехугольника это не так: центр масс четырехугольной пластины не всегда совпадает с центром равных масс, расположенных в ее вершинах. На рисунках к этому посту вы можете видеть, что центр О масс пластины лежит между центрами масс треугольников, на которые пластину разбивает ее диагональ. На другом рисунке этот центр лежит на на отрезке КЕ. Почему это так и в каком отношении точка О делит данный отрезок?
На последнем рисунке показан способ нахождения центра масс пятиугольной пластины. Попробуйте объяснить этот способ и докажите связанный с ним интересный факт о пятиугольниках.

Контрольные по тригонометрии

Выкладываю свои контрольные по тригонометрии для 9 класса. Первые два варианта подходят для классов Матвертикали, 3 и 4 для физмат классов.
Эти работы пишутся еще до прохождения теорем синусов и косинусов. Они рассчитаны примерно на 60 минут.
Можно сделать короткий вариант на 1 урок без одной задачи.

Сюжет с кругами. Решение

Эта конфигурация с кругами хороша тем, что наглядно показывает, как в одном решении работают сразу несколько важных геометрических фактов: лемма Архимеда об окружностях, вписанных в сегмент круга, их радикальная ось, вписанные углы, японская формула внешней касательной и подобие треугольников. Схему самого решения можно прочитать на рисунках выше. Условие задачи ищите здесь.

Ограничение на отношение радиусов вписанных кругов кажется сначала удивительным, но в предельном случае оно становится естественным: когда круги приближаются к точкам А или В, дуга полукруга превращается в вертикальную касательную, и пара таких кругов оказывается вписанной в прямой угол.

Листки для 7 класса по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры

Выкладываю листки для 9 класса по тригонометрии для работы на уроках и дома. Материалы в основном взяты из нашего учебника.

Сюжет с кругами

Предлагаю вам мой сюжет для кружка по геометрии в трех частях. Он рассчитан на 9 класс.

Два круга вписаны в один полукруг и касаются друг друга.
А) Докажите, что диаметр полукруга из точки касания кругов всегда виден под углом 135 градусов.
Б) Радиусы кругов равны 8 и 9. Чему равен диаметр полукруга? Ответ при данных радиусах будет рациональным числом.
В) Радиусы касающихся кругов не могут сильно различаться. Оказывается, их отношение всегда меньше 6. А где проходит граница этого отношения?
То есть в каких пределах может меняться отношение радиусов таких кругов?

Комментарий:
Часть А) хорошо известна и красива.
Части Б) и В) новые.
Пишите ответы, а не решения!

Желтый квадрат. Решение

Рисунок к условию этой задачи выглядел вполне правдоподобно, но искомый желтый квадрат расположен не так: две его вершины попадают на продолжение боковых сторон зеленого треугольника. В комментах к условию можно посмотреть отличную анимацию.

Многие верно заметили, что две вершины желтого квадрата лежат на равных расстояниях от вершин В и С зеленого треугольника АВС. Правда, этого соображения не хватает, чтобы быстро получить ответ. А как это сделать, можно прочесть на рисунке к решению.
По классификации нашего учебника эта задача на три звезды.

С этой красивой задачей многие справились! В новом учебнике 9 класса она стоит в теме подобие, как использование свойства гомотетии. Удивительно, что в ней хватает данных для ответа, хотя четырехугольник совершенно произвольный!

Придумал я эту задачу когда-то из соображений проективной геометрии, а потом уже увидел это красивое и простое решение — его вы можете прочитать на данном рисунке.
Это как раз тот случай, когда дополнительное построение решает все :)

Длина отрезка

Вот одна из самых красивых задач новой версии учебника за 9 класс.

Через точку пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника параллельно одной его стороне провели прямую. Часть этой прямой внутри четырехугольника делится данной точкой на отрезки с длинами
3 и 5.
Чему равен отрезок этой прямой вне четырехугольника до пересечения с продолжением его третьей стороны?

В чат пишите ответы, а не решения!

Вот раздаточные материалы по теме Углы для 7 класса. В основном, это задачи из новой версии нашего учебника.
Материал рассчитан примерно на три урока.

Треугольник на равные части. Решение

Любой прямоугольный треугольник можно высотой разбить на два подобных меньших треугольника. Коэффициент их подобия равен отношению гипотенуз.
Если катеты исходного треугольника относятся как 1:2, один из этих треугольников будет в 2 раза больше другого. Разрежем его на 4 равных треугольника по средним линиям — тогда исходный треугольник окажется разрезан на 5 равных.

Если катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3, поступим так же: разобьем его высотой на два подобных треугольника и больший из них разрежем на 9 равных. Тогда исходный треугольник окажется разбит на 10 равных частей. Аналогично можно разрезать прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 на 13 равных треугольников.

На правом рисунке вы можете видеть равносторонний треугольник, который разбит на 5 равных частей. Правда, эти части не треугольники, и даже не связаны — каждая из них покрашена своим цветом.
Условие задачи здесь

УРА!

Вчера подписчиков нашего канала стало больше 3000.
Это круглое число имеет горизонтальную ось симметрии, и образовалось оно всего за месяц. Спасибо вам за интерес и активное участие!

Такое событие я решил отметить задачей на три весёлые буквы. Не подумайте плохого – на заборе их писать не надо, из этих букв нужно сложить геометрическую фигуру, которая также имеет ось симметрии. А нарисовать их можно по клеточкам и вырезать из бумаги. Как это сделать, показано на рисунке.
В ответ напишите, скольким клеточкам равен периметр полученной вами фигуры.

Ладовая постоянная. Решение

Человеческое ухо, как и другие органы чувств, воспринимает повышение звука по логарифмической шкале. Это значит, что умножение внешнего воздействия в одно и то же число раз мы ощущаем как увеличение его на одну ступень.
Поэтому, когда мы слышим, что звук стал выше на один полутон, на самом деле его частота умножилась в одно и то же число раз. Это позволяет рассчитать лады на грифе гитары и выразить ладовую постоянную через корень 12 степени из двойки.

Юрий Деточкин тоже любил детей…

Дорогие учителя, сегодня я поздравляю вас с нашим профессиональным праздником!
Мы не угоняем автомобилей и не уезжаем в бесконечные командировки к родственникам. Просто работа в школе тоже похожа на погоню — погоню за знаниями или на преследование отстающих…

Давайте сегодня сбросим скорость - ведь даже Юрий Деточкин, уходя от милиции, затормозил перед знаком ДЕТИ. А в качестве маленького музыкального подарка будет вальс Андрея Петрова из фильма Берегись автомобиля :)

Осенний марафон
Эта ссылка будет интересна как учителям, так и одиннадцатиклассникам. Как известно, геометрию на профильном ЕГЭ решают пока довольно плохо, а с задачами второй части вообще справляется не больше 1% абитуриентов. Многие ребята, запустившие геометрию в 7—9 классах, за эти две задачи просто не берутся.
Есть хороший выход: на канале Профиматика в этом октябре стартовал геометрический марафон по подготовке к ЕГЭ. Каждый день там выкладывают блок теории и несколько задач на ее закрепление. При этом идут от простого к сложному: от первых геометрических задач теста до тех самых сложных задач второй части. Все совершенно бесплатно в течение этого месяца.
Вот ссылка для регистрации.
Ударим осенним марафоном по геометрической безграмотности!

Жёлтый квадрат

Если одна симметричная фигура вписана в другую, оси их симметрий могут совпадать. Однако так бывает не всегда: на рисунке вы можете видеть квадрат, косо вписанный в другую симметричную фигуру, образованную кругом и равнобедренным треугольником. Площадь такого квадрата чуть больше 48, и она — рациональное число.
Каким оно может быть?

Выкладываю подборку задач на тему Аксиома полуплоскостей для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока

Плечи Герасима. Решение

Если вы разведете в стороны руки, не вытягивая их, то расстояние между кончиками пальцев будет равно вашему росту. Леонардо да Винчи знал, что совершенного человека можно вписать в квадрат - он сделал такой рисунок на полях трактата римского архитектора Витрувия, поэтому его и называют витрувианским человеком.

Допустим, Герасим был сложен пропорционально.Тогда его можно вписать в квадрат, одна одна сторона которого равна росту, а другая - размаху рук или маховой сажени.Такая сажень складывается из двух аршинов и ширины плеч.
По словам Тургенева Герасим был 12 вершков росту, а на Руси считали рост взрослого человека от двух аршинов. Аршин равен 71 см, а вершок — 4,5 см. Поэтому рост Герасима равен 71*2 + 4,5*12 = 196 см. Он и правда был богатырем!
Ширина его плеч - это рост без двух аршинов, т.е.12 вершков или 54 см. Получается, что рост человека на Руси определяли по ширине его плеч!

P.S. Однако все не так просто: в плечах Герасим был меньше - загляните в комменты к посту!

Вот вариант простой контрольной работы для 7 класса

Треугольник на равные части

Каждый треугольник на верхних рисунках можно разрезать на 3 равные части. Можно доказать, что треугольники другой формы этим свойством не обладают.
На двух нижних рисунках показано, как разрезать любой треугольник на 4 равные части и как равносторонний - на 6 равных частей.
А можно ли какой-то треугольник разрезать на 5 равных частей?
Есть ли треугольник, который можно разрезать на 10 или даже 13 равных частей? Особый интерес представляет случай, когда все части - треугольники:)

Пишите, на какое число равных частей вы можете разрезать треугольник и каким он должен для этого быть.