Сюжет с центрами масс

Многие знают, что центр трех равных масс, расположенных в вершинах треугольника, находится на пересечении его медиан. В курсе нашего учебника это обсуждается в 8 и 9 классах сначала по правилу рычага, а потом с помощью группировки векторов.
Можно легко доказать, что точка пересечения медиан является также центром масс однородной треугольной пластины.
Для произвольного четырехугольника это не так: центр масс четырехугольной пластины не всегда совпадает с центром равных масс, расположенных в ее вершинах. На рисунках к этому посту вы можете видеть, что центр О масс пластины лежит между центрами масс треугольников, на которые пластину разбивает ее диагональ. На другом рисунке этот центр лежит на на отрезке КЕ. Почему это так и в каком отношении точка О делит данный отрезок?
На последнем рисунке показан способ нахождения центра масс пятиугольной пластины. Попробуйте объяснить этот способ и докажите связанный с ним интересный факт о пятиугольниках.