Ботаем геому

Честно говоря, до вчерашнего дня знал этот факт только для биссектрис (получается, что O, Ap1, Ap2 на одной прямой). Оказывается, он верен для любых чевиан.

Красные окружности построены как на диаметрах
(!) Соосность красных окружностей
(!) Их рад. ось проходит через О

Утренняя разминка!

На сфере с диаметром MN выбрали точки А, В, С. Оказалось, что точка N лежит на описанной окружности треугольника ABC и AN = BN.
(!) ∠ACM = ∠BCM

На этот раз добрая разминка!

Вечерняя разминка

Точки M, N – середины сторон AB и BC треугольника АВС, точка G – его центроид. На дуге MN окружности (MNB) выбирается точка P, точка Q на PG такова, что PG : QG = 1 : 2 (P и Q по разные стороны от G). Точка D на прямой BP такова, что ∠ABC = ∠ADC. Точка E на окружности (ABC) такова, что QE || BD.
(!) BQ = DE

Теперь к разминкам, которые никем не были решены, через какое-то небольшое время будут появляться подсказки!

По запросам – сложная задача

Точка О – центр описанной окружности вписанно-описанного четырёхугольника ABCD. Точки I – центры вписанных окружностей треугольников, соответствующих индексам точек I.
(!) Точки I коцикличны

Приглашаю поботать к региону на бесплатном недельном курсе, где тебя ждет:

• 4 интенсивных занятия с главными темами

• Преподовательский состав из сильных олимпиадников:
Даниил Козлов – комбинаторика
Станислав Кузнецов – геометрия
Тимофей Бакшеев – теория чисел

•Стримы консультации с преподавателями

• Пробная олимпиада в формате РЭ и разбор

• Ламповый чатик - там можно вместе поботать/отдохнуть



🔗 Подробности – тут

Обобщение задачи сверху
Р и Q — изогонально сопряженные точки

Просто красивая задача

Несложная задача на вечер

Утренний баян

На вписанной окружности треугольника выбрана точка Х. Из точки Х проведены касательные к вневписанным окружностям.
(!) Если точка Х лежит на средней линии треугольника, то из отрезков касательных можно составить прямоугольный треугольник

Утренняя разминка

Окружности ω1 и ω2 не имеют общих точек. Прямая l пересекает их точках A, B и C, D.
(!) существует точка X, независящая от выбора прямой l, такая, что ∠AXC = ∠BXD

Ещё одна ночная разминка

Точка Н - ортоцентр треугольника АВС. Перпендикуляр из точки Н на биссектрису угла А пересекает прямую АВ в точке Е. Прямая, параллельная АС и проходящая через точку Е, пересекает описанную окружность треугольника BHE в точке Х. Прямая CX вторично пересекает окружность (BHE) в точке У.
(!) Окружность (AHY) касается биссектрисы угла А

Выбрали произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности треугольника АВС в точке А. Из точек B и C проведены касательные BQ и CP к ω, причём BQ и CP пересекаются внутри треугольника АВС.
(!) Прямая PQ проходит через точку, независящую от выбора ω

Ночная разминка

Вписанная окружность ω с центром I касается стороны BC в точке D. Оказалось, что отрезок AD бьётся окружностью ω пополам.
(!) Окружность (BIM) касается BC

Нестереометрическая утренняя разминка

Окружности пересекаются в точке А. Прямая l, проходящая через А, вторично пересекает окружности в точках P и Q. Постройте циркулем и линейкой прямую l так, что
а) PQ имеет максимальную длину из всех возможных
б) AP×AQ имеет максимальную величину из всех возможных

Пункты независимы

Утренняя разминка

Точка L- основание биссектрисы угла C треугольника ABC. На отрезке AB как на диаметре построена окружность Г, причём плоскость, в которой она лежит, перпендикулярна плоскости (АВС). Через L проведена произвольная хорда DE окружности Г.
(!) CL- биссектриса угла DCE.

Добрая задача! Немного удивился, когда придумал сегодня утром но выглядит как баян.

И ещё немного в тему равнобоких гипербол.

По-моему, прикольное решение задачи https://t.me/zadacha_dna/410

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность.

(!) Точки Эйлера четырёхугольников ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE лежат на одной окружности вдвое меньшего радиуса

Точкой Эйлера четырёхугольника ABCD назывaется точка пересечения окружностей Эйлера треугольников ABC, ABD, ACD, BCD