Геометрия от Волчкевича

Средние линии

Эта тема только что была пройдена в 8 классах проекта «Математическая вертикаль»
и она имеет прямое отношение к Олимпиадам по математике. Поэтому очень рекомендуем посмотреть семинар Дмитрия Швецова.

Параллельный отрезок

Вот еще одна моя задача о произвольном четырехугольнике. Утверждение это общее и верно даже для невыпуклых четырехугольников. Пишите свои доказательства под спойлерами. Статичное условие задачи в первом комменте.

Квадраты и треугольники

Предлагаю две задачи о площадях частей одного квадрата. Свои ответы и решения, как обычно, пишите под спойлерами

Контрольные и диагностики

Школы, участники проекта «Математическая вертикаль», несколько раз в год пишут диагностические работы.
А так как они занимаются в том числе и по нашим учебникам, то не помешает дать ссылку на архив таких работ прошлых лет - его легко найти здесь:

https://vertical.sch-int.ru/kak-rabotat-v-proekte/arhiv-kontrolnyh/

Там есть также работы для поступления в проект, кроме геометрии, еще алгебра и статистика. Этот архив для вас бережно собрал ресурсный центр «Интеллектуал»

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к урокам. На этот раз это тема 7 класса «Признаки равенства треугольников».
Практически все доказательства в геометрии сводятся к рассмотрению треугольников. Поэтому очень важно определять равные треугольники по их элементам. Доказательства 1 и 2 признаков лучше проводить наглядно, совмещая треугольники из бумаги на доске. По сути математическое доказательство обосновывает этот же процесс: совмещение равных сторон треугольников, переворачивание одного из них другой стороной листа и т. д. Важно сразу строить треугольники циркулем и линейкой по их элементам — так через работу руками ребята сразу понимают, набор каких элементов однозначно определяет фигуру.
Начиная с этой темы, при решении задач важно записывать кратко условие, привязывая его к рисунку. Образцы таких записей есть для каждого примера в учебнике. Тут важно отработать навыки: научится видеть совпадающие стороны треугольников, их общие углы, строить цепочки рассуждений. Здесь же возникают и первые дополнительные построения: на рисунке бывает нужно провести дополнительные отрезки, получить пары равных треугольников и потом уже делать выводы. Завершает параграф признак равенства многоугольников.

Витраж

Очень хорошо, когда в задаче остается интрига. Например, требуется доказать, что отрезок на чертеже равен одной стороне параллелограмма, но не сказано, какой именно. Это дает возможность в задачах, кроме самого доказательства, получить еще и правильный ответ. Такой прием всегда увеличивает мотивацию к решению и нравится ученикам. А учителю на уроке он позволяет не рассматривать заведомо неправильные варианты. В простых случаях я предлагаю ребятам сначала проверить свою интуицию и примерно угадать ответ задачи. Например, угадать расстояние до линии горизонта от человека, стоящего на морском берегу. Уверяю вас: разброс их ответов может быть от 500 метров до 100 километров.

Методичка

Продолжаем выкладывать методические материалы к урокам по нашему учебнику. На этот раз это тема 8 класса «Средние линии». Мы начинаем с того, что средние линии треугольника и трапеции лежат на прямой, одинаково удаленной от всех вершин этих фигур. В некоторых курсах геометрии средняя линия треугольника проходится как задача на подобие или как следствие теоремы Фалеса. Мы считаем это неправильным, так как данная тема - кладезь интересных задач и очень полезна для отработки навыков дополнительных построений. Кроме того, с ней прямо связана теорема о медианах треугольника, теорема Вариньона и средние линии четырехугольников. Завершает параграф рассказ о центрах масс многоугольников, которые можно найти по правилу рычага. По сути, таким физическим методом «на пальцах» можно доказать все теоремы этого параграфа. Заметим, что великий Архимед делал именно так, и рассказ о его потерянной книге, найденной лишь в XX веке, тоже есть в параграфе учебника.

Равные площади

Предлагаю свою задачу на равенство площадей в четырехугольнике. Одной буквой на рисунке отмечены равные площади частей, на которые две прямые разрезают выпуклый четырехугольник. Как построить эти прямые и где может находиться точка их пересечения?

Методичка

Продолжаем в помощь учителям выкладывать методические рекомендации к нашему учебнику. В этот раз это тема 7 класса «Равные фигуры». Понятие равенства очень важно как для геометрии Евклида, так и для деятельности человека. Печати на документах, одинаковые монеты или здания, детали машин и механизмов - все это равные фигуры.
Понятие равенства прямо связано с движением твердого тела, при котором сохраняются все расстояния между его точками. Неоднократно делались попытки в образовании равные фигуры называть конгруэнтными, так как равенство в теории множеств означает совпадение их всех элементов. Однако эта терминология оказалась слишком формальной и не прижилась в школе.
Существует много прекрасных задач, в которых нужно данную фигуру разрезать на равные части. С ними школьники часто справляются лучше учителей. Это лишний раз показывает, что интуиция в геометрии значит не меньше логики.

В углы описанного четырехугольника вписали (зеленые) окружности. К каждой паре зеленых окружностей, касающихся одной стороны, провели вторую внешнюю касательную. Докажите, что данные прямые касаются одной окружности.

Шесть кругов в четырехугольнике

Вот новая задача Федора Нилова. Она кажется сложной, однако ее легко может решить ученик 8 класса. Впрочем, сам Федор такие задачи решал уже в седьмом - я это помню как его учитель. Попробуйте доказать данный красивый факт, просто глядя на этот рисунок!

Равные площади

Предлагаю свою новую задачу о площадях и средних линиях в выпуклом четырехугольнике. Ее частные случаи легко проверяются для трапеции. Пишите свои комментарии и доказательства. Верно ли это утверждение для невыпуклых четырехугольников?

Методичка

Продолжаем в помощь учителями выкладывать методические рекомендации к урокам по нашему учебнику. Сегодня это тема 7 класса Ломаная и многоугольник. В этой теме много конструкций и есть комбинаторика - все это обычно вызывает интерес у школьников. Понятие ломаной не так просто, как кажется на первый взгляд. Ломаная - фигура, состоящая из отрезков, а последовательность ее вершин только задает фигуру. В этом смысле, обратный порядок вершин задает ту же ломаную. По той же логике точки А, В или В, А задают один отрезок АВ. Многоугольник - это простая замкнутая ломаная или, говоря образно, забор вокруг участка земли. В этом смысле важно понятие плоского многоугольника и его угла. Кроме того нужно понимать, что несколько точек могут являться вершинами нескольких разных многоугольников.

Отрезки в четырехугольнике

Предлагаю свою новую задачу
о двух параллельных отрезках
в любом четырехугольнике. Если четырехугольник - параллелограмм, такие отрезки лежат на одной прямой.
У меня есть довольно сложное доказательство этого красивого факта в общем случае. Возможно, кто-нибудь из читателей нашего канала найдет для него короткое и желательно геометрическое доказательство. Пишите свои идеи в комментариях к этому посту:)

10 000

Вчера число подписчиков нашего канала перевалило за 10 тысяч.
Этот рубеж я решил отметить своей песней о молодом шкипере, который под парусом впервые выходит в открытое море с его могучими волнами, белой пеной и штормовым ветром. А живое ее исполнение вы можете услышать на моем концерте в конце ноября.