Математические байки

А вот график (из того же отчёта).

Так вот — они ставят эксперимент, и… вдруг обнаруживают, что по прошествии ещё какого-то времени колебания обратно собираются практически полностью в первую гармонику. Тадамм!
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.

Ещё фото — одна ячейка (блок?) памяти MANIAC I;

Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg

Первая страница отчёта 1955 года — с которого как раз и пошла история эффекта.

Энрико Ферми, Джон Паста, Святослав Улам, и Мари Цингоу ставят численный эксперимент. На свеже-установленном (в 1952 году) в Лос-Аламосской лаборатории (той самой!) компьютере MANIAC I. Ламповом!

Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).

Колебания можно разложить по Фурье-гармоникам sin kx (в нормировке, когда закреплённые шарики на концах струны отвечают x=0 и x=π) — разложить как положения, так и скорости. И если бы уравнение было линейной струной, то каждая гармоника так бы независимо и колебалась, и распределение энергии между ними не менялось бы. Наоборот, в « тепловом » режиме энергия должна была бы « размазаться » между всеми гармониками.

Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…

Ещё одна картинка — тоже воспроизводя эксперимент: 31 шарик с линейными связями плюс квадратичная нелинейность (и плюс два закреплённых шарика на концах), начинаем с чистой синусоиды, и вот при колебаниях график всё сильнее деформируется.

Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама.

В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.

Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.

Тизер к следующей части 🙂

Картинка из лекции: опрокидывающаяся волна (чем больше значение u, тем больше скорость) и её « разглаживание » (ну да, такое себе) третьей производной в правой части.

Теперь можно спросить себя, что делает другая часть KdV: что, если мы смотрим только на уравнение
u_t + u_xxx =0 ?


Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).

Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)

Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.

Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.

(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)

Возвращаясь к волнам —
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)

Ну и вот как оно выглядит.

Соответственно, вот так выглядит построение решения: нужно взять начальное условие, для каждой точки (x_0,0) посмотреть, чему равно u_0=u(x_0,0), начертить на плоскости (x,t) прямую (x_0+tu_0,t) и на ней на всей положить u(x,t)=u_0.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)

И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.

Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.

Пара быстро набросанных картинок — слева векторное поле, справа мы уже знаем, что его интегральные траектории это прямые.

Хорошо, а что, если
u_t + u * u_x =0 ?
(Я поменял знак — это ни на что по сути не влияет, а думать про идущую вправо волну проще.)

Пусть уже есть какая-то функция u(x,t), являющаяся решением. Построим по ней векторное поле на плоскости: в каждой точке (x,t) нарисуем вектор (u(x,t),1) — ещё раз, зависящий от решения u(x,t), которое мы пока что ещё не знаем. Так вот — если продифференцировать решение u(x,t) вдоль (построенного по нему же) векторного поля, то получится в точности ноль — потому что в этом и состоит уравнение.
А значит, на каждой интегральной кривой этого векторного поля решение u постоянно: ведь ограничение u на неё имеет нулевую производную.
Но векторное поле строилось по решению u, и раз на интегральной кривой u постоянна, то эта интегральная кривая это просто прямая(!).

А что, если перед u_x будет множитель c,
u_t + c u_x =0 ?

Тогда на плоскости (x,t) нужно нарисовать постоянное векторное поле (c,1), и уравнение состоит в том, что производная решения вдоль этого векторного поля равна нулю. То есть решение едет вправо со скоростью c:
u(t,x)= f(x-ct),
где f(x)=u(0,x) — начальное состояние системы.

Вот картинка решения
u_t + u_x=0
в несколько последовательных моментов времени.

Давайте я продолжу немного про лекцию Кричевера. Так вот — на доске появляется уравнение Кортевега-де Фриза,
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0.
(И.М. тут сразу говорит, что константы не важны; понятно, что их можно поменять, выбрав другие единицы измерения для t, x и u — иными словами, сделав линейную замену переменной.)

А что вообще об этом уравнении можно сказать?
Давайте для начала выкинем третью производную (и уберём константу): рассмотрим уравнение Римана-Хопфа
u_t - u u_x =0.

Это соответствует тому, что мы смотрим на решение, когда оно очень-очень плоское, и третья производная сильно меньше всего остального (если взять функцию sin(x/100), то первая производная у неё порядка одной сотой, а третья порядка одной миллионной).

Так вот — что же будет происходить?
Если взять вообще уравнение
u_t + u_x=0,
то это будет соответствовать тому, что решение едет вправо с единичной скоростью. Потому что если мы берём функцию u(t,x) на плоскости (t,x) и дифференцируем её в направлении вектора (1,1), то получаем ноль!