Математические байки

https://nplus1.ru/material/2022/12/13/primal-art

«…Относительно большая доля простых чисел означает также, что у конкретного большого числа, скорее всего, можно просто подкрутить несколько цифр — и получить простое. Это простое замечание породило целое направление: псевдографику, в которой картина изображается в виде простого числа… »

А вот тут Вансан Дюшен (Vincent Duchêne) в начале 5-минутного рассказа про солитоны показывает физический пример:
https://www.youtube.com/watch?v=NeYaCuSUDc8&t=55s

Вот картинка одной такой бегущей волны в три последовательные момента времени, из записок дубнинского курса Натальи Рожковской (они выложены тут — https://mccme.ru/dubna/2019/notes/rozhkovskaya-notes.pdf).

Вот тут лежит видеозапись лекции Игоря Моисеевича, которую он читал в ЛШСМ-2010 (а вот тут — её анонс).

Там (как это зачастую бывает) к концу пошло экспоненциальное нарастание сложности; давайте я чуть-чуть попробую про ту его лекцию — и вообще про « интегрируемую » науку написать. Disclaimer — это не очень « моя » наука, так что до какого-то момента я могу оценить философию и красоту, а потом наступает ощущение, что « тут точно что-то есть дальше, правильный угол, как на это смотреть — но я его не знаю ».

Так вот, начинается лекция традиционно — с рассказа о том, как Джон Скотт Рассел, инженер из Эдинбурга, во время конной прогулки вдоль канала увидел, как при остановке баржи из-под неё вырвалась одиночная волна. И пошла, сохраняя форму, и шла долго-долго. Что, по представлениям тех времён, было невозможно (считалось, что одиночная волна « расползётся »). Так что, хоть он свои наблюдения и описал — ему не поверили…

Через какое-то время появилось уравнение Кортевега-де Фриза KdV, оно же « уравнение мелкой воды »:
u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0;
тут нижние индексы обозначают дифференцирование. И среди решений этого уравнения есть и одиночные бегущие волны - солитоны.

http://mi.mathnet.ru/umn10015

текст про И.М.Кричевера и его математику

Игорь Моисеевич Кричевер (08.10.1950–01.12.2022)

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2022-05.2-4.pdf

продолжаем разговор про рождественскую теорему Ферма — рассказ про доступное даже 7-класснику доказательство Спивака с «крылатыми квадратами» (Квантик №5 за 2022 год; Г.Мерзон)

На всякий случай — послезавтра, 25 октября будет солнечное затмение, правда, частичное:
https://www.timeanddate.com/eclipse/solar/2022-october-25

(Ниже — скопировано из сообщения годовой давности)

(Сразу: на Солнце нельзя!! смотреть без защиты! И даже солнечных очков недостаточно: они тоже на взгляд прямо на Солнце не рассчитаны!!)

Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )

Приглашаем вас на фестиваль журнала «Квантик» 29 октября

Фестиваль пройдёт в Новой школе по адресу: ул.Мосфильмовская, д.88, корп.5.

С 11:30 до 16:00 мы ждем детей, их родителей и учителей, которые хотят поиграть в интеллектуальные игры, встретиться с неожиданными задачами из разных областей знаний, познакомиться с настоящими изобретателями головоломок, сделать для себя множество открытий или просто понаблюдать, как это делают другие.

Посетите станции с играми и головоломками журнала «Квантик», игры Жени Кац, мастер-классы издательства «Простые правила» и онлайн-школы «Матемагия», станции головоломок известных изобретателей: В.И.Красноухова, Д.Певницкого, К.Гребнева, С.Полозкова; химические, инженерные, математические и лингвистические станции Новой Школы.

Традиционно мы начнем наш фестиваль с увлекательной лекции Сергея Дориченко, главного редактора журнала «Квантик».

Вход на фестиваль бесплатный. Регистрация: nschool.timepad.ru/event/2200443
Для посещения школы нужно иметь с собой паспорт.

https://youtu.be/cDofhN-RJqg

результаты 2-го конкурса ‘Summer of Math Exposition’ от 3Blue1Brown

https://math.hse.ru/announcements/733826494.html

серия из 4 лекций 25 (чт) и 26 (пт) августа

М.А.Цфасман — Марина Вязовская: упаковки шаров
С.К.Ландо — Джун Ху: связь между алгебраической геометрией и комбинаторикой
А.Калмынин — Джеймс Мейнард: промежутки между простыми числами, диофантовы приближения
М. Мариани — Уго Дюминиль-Копен: критичность в статистической механике

Так вот — рассуждение выше это альтернативный способ завершить доказательство. А именно: в модели Пуанкаре прямые это дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту — в частности, они сохраняются при инверсии относительно абсолюта. Значит, раз те три окружности, дуги которых это диагонали шестиугольника в модели Пуанкаре — раз они пересекаются в одной точке Y, то они пересекаются и во второй точке Y' — в её инверсном образе относительно абсолюта. А это как раз условие применимости заключительной формулировки.

А ещё — последний шаг рассуждения в том видео это (очень красивый!) переход от модели Пуанкаре к модели Клейна. Этот переход — тождественен на абсолюте (на граничной окружности) и переводит прямые в модели Пуанкаре (т.е. дуги окружностей, перпендикулярных абсолюту) в прямые в модели Клейна (т.е. хорды, соединяющие точки абсолюта). И раз три прямых пересекались в одной точке в модели Пуанкаре — их образы пересекаются в одной точке в модели Клейна.

Image credit: The Seven Circles Theorem, https://youtu.be/m9v0h2ibYpo?t=1063

(картинка к рассуждению выше; https://www.geogebra.org/classic/cqjkwyfe )

Видео очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов.

Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки касания, пересекаются в одной точке.

Так вот — можно заметить такую странную вещь. Условие у теоремы сохраняется при применении инверсий (и их композиций). Потому что инверсии переводят окружности в окружности. А в заключении есть прямые — и это понятие не-инвариантно! Зато можно сказать, что прямая это окружность, проходящая через бесконечно удалённую точку.

Поскольку любую точку можно унести на бесконечность инверсией с центром в ней — то мы приходим к тому, что должно бы быть справедливо вот такое утверждение: если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хорды AD, BE и CF пересекаются в одной точке P, то и для любой точки X окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
Причём преобразование f:X->f(X) — инволюция, этакая "мнимая инверсия": композиция инверсии с центром в P и гомотетии с тем же центром с отрицательным коэффициентом, чтобы точки ABCDEF перешли в себя (такой есть, потому что теорема о пересекающихся хордах).
И — собственно, вида преобразования f выше как раз достаточно, чтобы это утверждение доказать: ведь так заданное отображение f переводит в себя точки ABCDEF, а также каждую из окружностей ADX, BEX, CFX (потому что переходят в себя две точки + сохраняются углы между окружностями). С другой стороны, у исходных окружностей была общая точка X, значит, у [совпадающих с ними] окружностей-образов есть общая точка f(X).

Более того, опять же, унося инверсией одну точку (Y' ниже) на бесконечность, можно дойти вот до такой формулировки, уже совсем инвариантной относительно инверсий:
Если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хотя бы для любой одной точки Y вне неё три окружности ADY, BEY и CFY пересекаются в ещё одной точке Y', то и для любой точки X три окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
(В частности, в одной точке P пересекаются и хорды AD, BE и CF — что соответствует бесконечно удалённой точке X.)

видео с доказательством теоремы о семи окружностях при помощи гиперболической геометрии: https://youtu.be/m9v0h2ibYpo

( ранее на тему теоремы о семи окружностях: https://t.me/geometrykanal/1920 )

Вчерашний (!) препринт А.А.Гайфуллина: к этому списку добавилось 634 "симметричные" (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и... >10^103 "не очень симметричных"!

Так вот — до недавнего момента не-сфер с n=3(d/2)+3 было известно ровно 5.
- d=2: одна 6-вершинная триангуляция RP^2 как фактор икосаэдра по центральной симметрии (и известно, что больше ничего нет)
- d=4: одна 9-вершинная триангуляция CP^2 (и известно, что больше ничего нет)
- d=8: три 15-вершинные триангуляции HP^2 (построены давно, а вот то, что это именно HP^2, а не просто что-то "похожее", доказал Денис Городков).

какие бывают нетривиальные (отличные от сферы) триангулированные d-мерные многообразия, у которых мало вершин?

оказывается (Brehm-Kühnel, 1987), тогда количество вершин хотя бы 3(d/2)+3, причем равенство возможно только при d=0,2,4,8,16 — и в этом случае многообразие похоже на соответствующую проективную плоскость (в т.ч. имеет такие же когомологии)

для d=2 картинка с 6-вершинной триангуляцией вещественной проективной плоскости была здесь неделю назад

для d=4 соответствующая 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости уже очень нетривиальна, она была найдена с использованием компьютерного перебора (Kühnel, 1980) — и про получившуюся конструкцию можно почитать обзор «The 9-vertex Projective Plane» (W.Kühnel, T.F.Banchoff; Math. Intelligencer 5, p. 11–22 (1983))

продолжение следует