Видео очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов.

Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки касания, пересекаются в одной точке.

Так вот — можно заметить такую странную вещь. Условие у теоремы сохраняется при применении инверсий (и их композиций). Потому что инверсии переводят окружности в окружности. А в заключении есть прямые — и это понятие не-инвариантно! Зато можно сказать, что прямая это окружность, проходящая через бесконечно удалённую точку.

Поскольку любую точку можно унести на бесконечность инверсией с центром в ней — то мы приходим к тому, что должно бы быть справедливо вот такое утверждение: если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хорды AD, BE и CF пересекаются в одной точке P, то и для любой точки X окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
Причём преобразование f:X->f(X) — инволюция, этакая "мнимая инверсия": композиция инверсии с центром в P и гомотетии с тем же центром с отрицательным коэффициентом, чтобы точки ABCDEF перешли в себя (такой есть, потому что теорема о пересекающихся хордах).
И — собственно, вида преобразования f выше как раз достаточно, чтобы это утверждение доказать: ведь так заданное отображение f переводит в себя точки ABCDEF, а также каждую из окружностей ADX, BEX, CFX (потому что переходят в себя две точки + сохраняются углы между окружностями). С другой стороны, у исходных окружностей была общая точка X, значит, у [совпадающих с ними] окружностей-образов есть общая точка f(X).

Более того, опять же, унося инверсией одну точку (Y' ниже) на бесконечность, можно дойти вот до такой формулировки, уже совсем инвариантной относительно инверсий:
Если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хотя бы для любой одной точки Y вне неё три окружности ADY, BEY и CFY пересекаются в ещё одной точке Y', то и для любой точки X три окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X).
(В частности, в одной точке P пересекаются и хорды AD, BE и CF — что соответствует бесконечно удалённой точке X.)