Возвращаясь к волнам —
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)

Ну и вот как оно выглядит.