Соответственно, вот так выглядит построение решения: нужно взять начальное условие, для каждой точки (x_0,0) посмотреть, чему равно u_0=u(x_0,0), начертить на плоскости (x,t) прямую (x_0+tu_0,t) и на ней на всей положить u(x,t)=u_0.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)

И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.

Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.