Пусть ABC – треугольник, в котором AB < AC < BC. Пусть ω – вписанная в треугольник ABC окружность, а I – ее центр. Пусть X – такая точка на прямой BC, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно AC, касается ω. Аналогично, пусть Y – такая точка на прямой BC, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно AB, касается ω. Пусть AI пересекает описанную около треугольника ABC окружность второй раз в точке P != A. Пусть K и L – середины сторон AB и AC соответственно. Доказать, что ∠KIL + ∠YPX = 180◦
Пусть O и I — соответственно центры описанной и вписанной окружности треугольника ABC. Окружности (ABC) и (AIO) пересекаются в точке A_1. Аналогично определяются точки B_1 и С_1. Доказать, что I - ортоцентр треугольника A_1B_1C_1
Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Доказать, что описанная окружность треугольника MXY касается окружности ω
Республиканская олимпиада Казахстана, 2024, первый день, задача 9.3
В окружность omega с центром O вписан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к omega в точке A пересекает сторону BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX параллельно KM и CX параллельно LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ
(настало время разбавить серые планиметрические будни комбистереомой)
Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окруж- ность в точке T != I. H - ортоцентр треугольника AEF. Доказать, что ортоцентр треугольника AEF равноудален от точек T и I
Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причем AC = DE и ∠CFE = ∠DEF. Доказать, что ∠ABC = 2∠DFE
