Олимпиадная геометрия

Как думаете, нужны следующие серии про всякое проективное в видео формате или достаточно текстов с анимациями?

Бои ⚔️ первого дня завершены. Делимся условиями: сегодня было две геометрии в гранд-лиге.

Первая простенькая задачка была от авторов нашего канала, придуманная в вечер перед туром.

Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны соответственно точки 𝑋, 𝑌, 𝑍 так, что четырёхугольник 𝑋𝐴𝑌𝑍 является параллелограммом. Окружность, проходящая через 𝑌 и 𝑍 и касающаяся прямой 𝐵𝐶 в точке 𝑍, пересекает прямую 𝑋𝑌 в двух различных точках 𝑌 и 𝑇 . Докажите, что точки 𝑇, 𝑌, 𝐶, 𝐵 лежат на одной окружности.

Вторая — от Чуйко Александра и Ячного Арсения.

Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высоты 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ пересекаются в точке 𝐻. Пусть 𝑋 — точка пересечения прямой 𝐵₁𝐶₁ с описанной окружностью треугольника 𝐴𝐻𝐶, лежащая вне треугольника 𝐴𝐵𝐶. Описанные окружности треугольников 𝑋𝐵₁𝐻 и 𝐴𝐻𝐵 вторично пересекаются в точке 𝑇, отличной от 𝐻. Докажите, что 𝑇 лежит на описанной окружности треугольника 𝐴₁𝐵₁𝐶₁.

Погода отличная, море бодрящее 🏖

#ЮМТ

Начался Южный математический турнир ☀️ Как обычно, мы будем держать вас в курсе событий 🔥

Сегодня в варианте командной олимпиады старших было целых четыре геометрии 📐 Две из них — классические: та, что попроще авторства Чуйко Александра в обработке Павла Александровича, та, что посложнее авторства Владимира Конышева.

Задача. Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝐾. Точка 𝑃 такова, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°. Точка 𝑄 такова, что ∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐶𝐷𝑄 = 90°. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐵 и 𝐶𝐾𝐷, повторно пересекаются на прямой 𝑃𝑄.

Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены основания биссектрис из углов 𝐵, 𝐶 — 𝐿𝑏, 𝐿𝑐 соответственно. Пусть 𝑙𝑐 — прямая, являющаяся отражением прямой 𝐴𝐶 относительно 𝐵𝐿𝑏, аналогично определим 𝑙𝑏. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐. Точки 𝑂, 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐾, 𝐿𝑏𝐿𝑐, 𝑂𝐼 пересекаются в одной точке или параллельны.

Геометрам привет!

По заявкам радиослушателей подписчиков новое видео и материалы на сайте.

https://youtu.be/0ipsLrhKOrE

AnimaGeo открыт для всех! ✨

Каждый день в занятиях геометрией рождаются новые чертежи. И хочется, чтобы у преподавателей, авторов контента и просто увлечённых геометрией людей был простой инструмент для их создания и оформления.

Чтобы чертежи получались аккуратнее, чтобы наглядных построений и анимаций становилось больше — и чтобы они были интереснее ученикам и читателям.

Сайт animageo.ru я выстраивал вокруг привычных инструментов GeoGebra, поэтому он отлично подойдёт тем, кто уже там работает и не хочет погружаться в настройки рендеринга: выбираете стиль — получаете аккуратный чертёж или анимацию в нужном оформлении, без потери математической точности.

А для тех, кто любит работать с кодом или с ИИ, я выложил Python-библиотеку AnimaGeo в открытый доступ. Её можно поставить себе, собирать и настраивать чертежи прямо из кода, а при желании — участвовать в развитии движка.

⚙️ Сайт пока живёт на скромных мощностях — в том числе поэтому пользоваться им можно бесплатно. Буду очень благодарен за любую обратную связь: сообщения о сбоях, замечания, идеи и пожелания.

Если инструмент окажется полезным — расскажите о нём тем, кому он может пригодиться: поделитесь ссылкой, напишите о своём опыте в соц сетях или просто опубликуйте результат, который у вас получился. Это очень поможет развитию проекта 🙌

Всем причастным — отличного учебного года и красивых чертежей! 🍁✨

#animageo #геометрия #чертежи #анимация

Проект конференции тургора "Геометрия окружностей"

Всем привет!

Если вы хотите посмотреть лекцию про теорему Птолемея, но забыли зарегистрироваться на конференцию Профиматики, вы можете посмотреть ее на канале Олимпиадной геометрии. Если все пойдет по плану, то она начнет стримиться приблизительно через 98 минут

https://youtube.com/live/8GgEKiQXp-A?feature=share

Согласился 1-го августа прочитать лекцию про теорему Птолемея. Готовлю презентацию. Вот доказательство методом пристального вглядывания.

IMO-2026, Problem 2.

Let ABC be a triangle and let points M and N be the midpoints of sides AB and AC, respectively. Let points K and L be chosen inside triangles BMC and BNC, respectively, such that K lies inside the angle LBA, L lies inside the angle ACK, and

∠ KBA= ∠ ACL, ∠ LBK= ∠ LNC, ∠ LCK= ∠ BMK

Let O be the circumcentre of triangle AKL. Prove that OM = ON.

(Proposed by Mykhailo Shtandenko, Ukraine)

Задача 87:

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.Касательная в точке A к окружности (APQ) пересекает (ABC) в точке K.Оказалось, что PQ проходит через точку пересечения медиан M, докажите, что тогда окружность (KPQ) проходит через центр (ABC)

Во вписанном четырехугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На стороне AD отмечена точка K и на стороне BC отмечена точка L такие, что ∠KCD=∠ABM и ∠LAB=∠CDN.
Докажите, что прямая KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

Переводчику геометрической терминологии на заметку...

Humpty Dumpty
Шалтай Болтай
Хитун Бовтун
Ханьці Данці
Шалам Балам
Goggel Moggel
Eilein Weilein
Zanco Panco
Wańka Wstańka
Lilleri Lalleri
Lille Trille
Dingi Dungi
Undi Dundi
Tombolo Dondolo
Uomo Uovo
Rondu Pondu
Oliņš Boliņš
Kuugel Muugel
Rafadan Kafadan
ალთა ბალთა
Hompie Kedompie
خی، خی پریم
קֶשֶׁת דַּבֶּשֶׁת

по мотивам классики. синий - правильный шестиугольник, желтый - правильный пятиугольник. найдите угол