Зачем мне эта математика

Вы точно его где-то видели… И нет, это не трилистник из «Зачарованных».

▶️Это треугольник Рёло◀️

Нарисуйте три одинаковые окружности радиуса r, каждая из которых проходит через центры двух других, — перекрывающаяся центральная область и есть знаменитый треугольник Рёло.

«Скруглённый треугольник» обладает целым рядом замечательных свойств. Самое любимое (и для нас, и для самого Рёло) — ширина во всех направлениях. Объясняем:

Если взять две параллельные прямые и «зажать» между ними фигуру, то расстояние между прямыми и называется шириной в данном направлении. То есть расстояние между двумя параллельными касательными к треугольнику Рёло всегда равно r, независимо от их положения, при том что одна из касательных обязательно проходит через вершину.

Почему это работает?

Интуитивно — потому что каждая дуга построена с центром в противоположной вершине. В любой ориентации фигуры найдётся пара точек, расстояние между которыми равно стороне исходного треугольника. Именно это и фиксирует ширину.

Это свойство, конечно, напоминает окружность, и действительно, у этих фигур есть несколько общих характеристик. Например, помимо прочего, длина границы треугольника Рёло совпадает с длиной окружности диаметра r.

*️⃣Треугольник Рёло — лишь одна из фигур большого семейства кривых постоянной ширины. Причём самая простая из «некруглых». Любую такую кривую можно рассматривать как результат «скругления» многоугольника специальным образом.

Также известно, что все такие кривые с одной и той же шириной r имеют одинаковый периметр (теорема Барбье). При этом среди них треугольник Рёло обладает наименьшей площадью, тогда как круг — наибольшей.

Этот факт был доказан в 1916 году австрийским математиком Вильгельмом Бляшке и сегодня известен как теорема Бляшке — Лебега. В этом смысле круг и треугольник Рёло — две крайности одного класса.

▶️История вопроса◀️

Многие исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлера (никогда такого не было — и вот опять), который ещё в XVIII веке продемонстрировал её построение из трёх окружностей.

Некоторые идут дальше, указывая на то, что треугольник Рёло появляется в рукописях самого Леонардо да Винчи. Причём не просто так, а для картографических нужд:

⠀🎨🎨🎨🎨🎨
⠀🎨🎨🎨🎨🎨
⠀🎨🎨🎨🎨🎨

Примерно в 1514 году да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников. Они были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Соответствующие манускрипты с изображением этой «простой» фигуры хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции.

Но некоторые не останавливаются и на этом, показывая, что ещё раньше треугольник Рёло уже был распространён в готической архитектуре по всему миру.

🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку, характерную для готического стиля, отчего на Викискладе есть даже отдельная категория с примерами использования треугольника Рёло в архитектуре.

В частности, в XIII веке создатели церкви Богоматери и собора Святого Сальватора в Брюгге использовали треугольник Рёло целиком в качестве формы некоторых окон. Как орнамент он присутствует также на оконных решётках многих соборов и аббатств.

Несмотря на приведённые примеры, именно Франц Рёло стал первым основательно изучать свойства фигур постоянной ширины и первым увидел весьма неожиданные прикладные преимущества фигур такого типа.

Его считают основателем современной кинематики и теории машин. В 1864 году он стал профессором Королевской промышленной академии в Берлине и связал механику с практикой конструирования. Рёло ввёл строгие определения кинематической пары и цепи, показав механизм как систему движений и функций. За сочетание инженерной точности и эстетики его называли «поэтом механики».

Уверены, вы сталкивались с его творениями в быту — если, конечно, сверлили стены или играли на гитаре.

⚡️ — с тех, кто хочет узнать подробнее!

#как_устроено

Подождите, а что это у вас на носу?

Этим бессмертным хуком мы подводим вас к тому, что синус и синусит действительно связаны.

🤯 У математического синуса и физиологического синусита общий предок — латинское слово sinus. Оно означало «изгиб», «складка», «пазуха» или «полость».

Но если с медициной всё довольно прямо (носовые пазухи называют синусами, а синусит — это воспаление этих пазух), то с математикой история страннее.

В древнеиндийской математике синус угла называли словом jyā — «тетива» или «струна лука». Тут имеется в виду лук, из которого стреляют: тетива соединяет его концы, а в геометрии тетива соединяет две точки окружности.

Позже индийские математические тексты переводили на арабский. Слово jyā передали как jiba. Но в арабском письме краткие гласные часто не записываются, поэтому слово можно было прочитать иначе — как jaib, то есть «пазуха», «карман», «складка».

Когда арабские тексты переводили на латынь, это слово перевели как sinus. Так в математике тоже появился синус. А в анатомии тем же латинским словом уже называли полости и пазухи.

Вот такая история попала вам сегодня в нос.

🤣 — апчхи!

#история

⏩️Езжай в Москву, учись на мехмате — из тебя выйдет великий математик⏪️

Так сказал учитель математики своему ученику Израилю Гельфанду после девятого класса. Тот послушался и приехал в МГУ… где его развернули у дверей: без аттестата о среднем образовании принимать некуда.

Возвращаться он не стал — устроился вахтёром в Ленинскую библиотеку, параллельно посещая вечерние лекции по математике.

Не прошло и года, как там его однажды заметил Андрей Колмогоров.

— Мальчик, зачем ты держишь эту книгу? Ты же ничего в ней не понимаешь, — усомнился академик.
— Вы не правы, — ответил Гельфанд.

Колмогоров дал ему «на слабо» три задачи и, уходя, услышал: «Товарищ профессор… я их решил». Все три — и последняя, самая сложная, была решена блестящим способом.

Профессор не поверил и дал ещё три. Изучив решения, сказал:
— Простите мои сомнения. Третья задача считалась неразрешимой. Никто не мог подсказать вам её решение. Пойдёмте к ректору.

Через несколько минут ректор МГУ услышал от Колмогорова:
«Это не мальчик, а гениальный математик. Прошу зачислить его в мою аспирантуру».

Минуя и 10-й класс, и студенческую скамью, Израиль Гельфанд стал одним из крупнейших математиков XX века.

Его влияние трудно измерить только теоремами. Куда важнее — его метод мышления. Гельфанд любил рассматривать один и тот же объект с разных сторон, переводить задачу из одной области в другую. Для него математика — про понимание структур и связей. Решение задачи — лишь побочный эффект.

В 1960-е годы Гельфанд запустил знаменитый заочный математический кружок. Вместо обычной проверки ученики получали развёрнутые письма с обсуждением их идей.

Про семинар в МГУ под его руководством, проработавший почти полвека, ходили легенды. Это был «спектакль одного актёра». Докладчика могли остановить на первой же строчке: «Объясните мне это на простом примере; с трудным примером я и сам справлюсь».

Одним из его любимых отрывков было стихотворение Пастернака про «неслыханную простоту». Именно к этой простоте он стремился во всех своих работах. Среди них:

▶️Теория представлений — Гельфанд создал теорию для некомпактных групп, которая сегодня является основным языком квантовой механики.

▶️Интегральная геометрия — его работы позволяют машинам МРТ и КТ превращать данные в 3D-изображения. Лауреаты Нобелевской премии по томографии благодарят Гельфанда в своих речах.

▶️C*-алгебры — совместно с Наймарком он ввёл понятие общих C*-алгебр. Позже он иронизировал, что мог бы объяснить самому фон Нейману, почему их подход важнее для топологии.

▶️Базисы Гельфанда — Цетлина — метод «хорошей» реализации представлений классических групп, ставший ядром современной комбинаторики и физики.

А вот что он сделал за пределами математики:

🔸В конце 1950-х Гельфанд собрал знаменитый биологический семинар. Вместе с врачами он разработал методику формализации мышления клиницистов для диагностики заболеваний.

🔸Он работал до последних дней — его последние статьи вышли, когда ему было 94 года. Как точно заметила Надежда Мандельштам: «Не нужно быть математиком, чтобы понять, что Гельфанд — гений».

Завершаем эту вдохновляющую историю индийской притчей.

Шесть слепых хотели узнать, каков слон. Каждый из них ощупал какую-то часть его тела и утверждал, что знает, какой слон. И хотя каждый из них был частично прав, никто не понял, каков слон.

Фамилия Гельфанд в переводе с идиша означает «слон». Объясняя метафору, дополним: наш герой оставался универсалом в век, когда математика разбивалась на специализации. Он внёс значительный вклад в функциональный анализ, алгебру, топологию, математическую физику, теорию вероятностей.

Накидайте 🏆, если знакомы с его работами. И читайте наши предыдущие посты про гениев математики:

• учитель Гельфанда — Андрей Колмогоров
• девушка, опередившая школьную программу
• школьницы, которые нашли новый взгляд на теорему Пифагора

#история

Посмотрите внимательно на картинки выше. Что по-вашему объединяет людей, изображённых на портретах?

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ОТВЕТ
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⬇️⬇️⬇️

Это всё один человек — великий Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Он оставил после себя матанализ и комбинаторику, заложил основы математической логики и впервые описал двоичную систему. Но как он выглядел на самом деле мы уже вряд ли узнаем...

#меммат

Описали ещё две важные исторические темы, которые затрагивает вчерашняя задача. Всё-таки надеемся, что найдутся смельчаки, которые попробуют решить её 👀

⠀
Правило трёх
⠀
Это простая пропорция, в которой даны три величины и требуется найти четвёртую. Сегодня такая задача может показаться тривиальной, но до появления формальных обозначений её решение представляло значительные трудности.

Правило трёх очень древнее и восходит к задачам в папирусе Ахмеса и китайском трактате «Математика в девяти книгах». Оно встречается у легендарного индийского математика Брахмагупты под названием trairāśika и формулируется так:

⏩️️В правиле трёх «аргумент», «результат» и «требуемое» — это названия членов. Первый и последний члены должны быть однородны. Требуемое, умноженное на результат и делённое на аргумент, даёт искомое⏪️️

Когда правило появилось в Европе, индийское название было переведено буквально, но восточные термины не сохранились. В Тревизской арифметике оно называется La regula de le tre cose — «правило трёх вещей». Лука Пачоли в своей знаменитой «Сумме арифметики» использовал как итальянское, так и латинское название: la regola del 3 и regula trium rerum. Немецкие авторы переняли итальянское название.

Существовали и другие названия, отражающие происхождение и значение правила: «правило купцов» и «золотое правило». Из Южной Европы правило распространилось во Францию и Англию. Там о нём говорили:

⏩️️Правило трёх обычно называют золотым правилом, и действительно, его можно так назвать: как золото превосходит все другие металлы, так и это правило превосходит все прочие в арифметике⏪️️

Его полезность и универсальность вызывали восхищение у математиков раннего Возрождения. Клавий утверждал, что его невозможно перехвалить. Ван дер Шуэре посвятил ему пятую часть своей книги, а Кардиналь — около 40%. Пожалуй, лучше всего отношение к нему выразил Бейкер:

⏩️️Правило трёх — главное, самое полезное и самое превосходное из всех правил арифметики. Все остальные правила нуждаются в нём, и оно превосходит их все⏪️️

При этом правило излагалось без математического обоснования: практикующих счётчиков интересовали не теоретические объяснения, а скорость и точность вычислений. Это была просто процедура, которую нужно запомнить и применять.

⠀

Аллегация

⠀
Эта тема впервые появляется в арифметических книгах XV века в связи с металлургией. Само слово происходит от латинских

ad

(«к») и

ligare

(«связывать») и буквально означает «смешивать». Слово

alloy

(«сплав») имеет тот же корень.

По мере того как металлургия оформлялась как наука, вопросы количественного описания смесей переходили из трактатов алхимиков в книги счётных мастеров.

При отсутствии централизованного контроля за чеканкой стандарты сильно различались. Знание состава сплавов драгоценных металлов было жизненно важно для торговли, поскольку стоимость денег определялась не номиналом, а содержанием драгоценного металла.

На протяжении XVI века главы об аллегации в арифметических книгах были особенно предназначены для немецких мастеров монетных дворов или итальянских ювелиров. Позднее область применения расширилась и стала включать задачи о смесях вообще. Например,

Роберт Рекорд

замечает:

⏩️

️Это имеет большое применение в составлении лекарств, а также в смешении металлов, и некоторое применение — в смешении вин; но я хотел бы, чтобы последнее применялось реже, чем это происходит ныне

⏪️

️

К 1568 году, например, у Бейкера уже можно найти около 48 страниц, посвящённых различным применениям аллегации.

#история

Под спойлером оригинальное условие и решение прямо из книги. Перевели его для вас ❤️

Прежде всего следует определить, сколько чистого серебра содержится в данном количестве — 7 унций и ¼ на марку, — и действовать далее по правилу трёх следующим образом:

1️⃣ Если из 1 марки получается 7 унций и ¼, то сколько получится из 46 марок и 7 унций? Расположи правило так:

🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Умножая и деля, находим, что в этом количестве содержится 42 марки, 3 унции, 3 кварты, 13 карат и ½ чистого серебра.

2️⃣ Сделав это, поступай далее так: если 3 унции и ½ чистого серебра дают 1 марку вышеупомянутых денег, то сколько получится из 42 марок, 3 унций, 3 кварт, 13 карат и ½ чистого серебра? Поэтому расположи это правило следующим образом:

🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Умножая и деля согласно правилу трёх, получаем, что количество денег составит 97 марок, 0 унций, 3 кварты, 5 карат и 1/7.

3️⃣ Если ты хочешь узнать, сколько меди добавлено в указанную сумму, вычти количество чистого серебра — а именно 42 марки, 3 унции, 3 кварты, 13 карат и ½, — из общего веса монеты следующим образом:

97 марок, 0 унций, 3 кварты, 5 1/7 карат
42 марки, 3 унции, 3 кварты, 13 ½ карат
——————————————————
54 марки, 4 унции, 3½ кварты, 17½ карат

Столько меди содержится сверх вышеупомянутых 42 марок, 3 унций, 3 кварт, 13 карат и ½.

Так задача решается. Внимательно заметь, что в подобных случаях следует поступать так же.

Скорее всего, к этому средневековому решению необходима пояснительная бригада — за этим мы и здесь!

⠀
Перевод на человеческий язык 👀
⠀
• В те времена решения подобных задач часто начинали с перевода всех значений в неправильные дроби, что и делает автор, превращая 7 ¼ в 29/4. Мы видим это значение в центре карточки 2.

• Далее происходит перевод общего веса в унции. Из расчёта 1 марка = 8 унций, из 46 марок и 7 унций получаем 46×8 + 7 = 375 унций. Поэтому справа на рисунке и появляется дробь 375/1.

• Теперь, когда весь имеющийся металл выражен в унциях, автор фактически решает пропорцию: если в 8 унциях сплава содержится 29/4 унции серебра, то сколько серебра в 375 унциях сплава?

В более привычной нам записи это будет выглядеть как 8 : 29/4 = 375 : x, откуда x = 339,84375. Это количество чистого серебра в сплаве в унциях. Далее происходит обратный перевод в полную систему мер.

Автор не приводит выкладок, но можно предположить, что процесс был примерно следующим:

Сперва посчитаем, сколько марок в этом количестве унций: 339,84375 : 8 = 42,4804688. Целая часть равна 42. Тогда вычтем 42×8 = 336 и получим остаток в унциях: 339,84375 − 336 = 3,84375 унции.

• Теперь дробную часть унций переводим в кварты. Помним, что 1 унция = 4 кварты, откуда 0,84375×4 = 3,375. Значит, 3 полные кварты и остаётся 0,375 кварты.

• Итого на данный момент мы получили 42 марки, 3 унции и 3,375 кварты. Аналогично дробную часть кварты переводим в караты из расчёта 1 кварта = 36 карат. Тогда 0,375×36 = 13 ½.

Что в итоге и даёт нам 42 марки, 3 унции, 3 кварты и 13 ½ карат.

• Вторая часть решения повторяет те же самые действия, только для второго набора значений.

⠀
Вот такая математика XV века. Как вам? Пробовали найти ответ через нейронку?

🔥— решил сам, было интересно!
🗿— ИИ не справился, и я тоже...

#задача

Завершаем средневековую серию постов красивой задачей из Арифметики Тревизо:

🔸Условие (оригинальное, прямо из книги): у купца есть 46 марок и 7 унций серебра, сплавленного в соотношении 7 унций и 1/4 на марку. Он хочет отчеканить его так, чтобы оно содержало 3 унции и 1/2 чистого серебра на марку.

🔸Вопрос: определите количество серебра в смеси и сколько латуни он должен добавить.

⠀
*️⃣Подсказка
⠀
Марка — это мера веса драгоценного металла, распространённая в средневековой Европе. Интересно, что слово «марка» тоже связано с идеей «меры» или «стандарта». От весовой марки произошла, например, немецкая марка.

В задачах из Арифметики Тревизо обычно речь идёт либо о весе серебра, либо о сплаве целиком. В данном случае 46 марок и 7 унций — это общий вес имеющегося сплава, содержащего примесь, из расчёта 7 ¼ унции чистого серебра на марку.

Под примесью неблагородного металла в драгоценном сплаве, скорее всего, по умолчанию подразумевается медь в значении лигатуры, но это в условии не уточняется. В решении всплывает слово «медь», хотя на тот момент этим словом часто могли обобщённо называть любой неблагородный металл, который добавляли к серебру или золоту для прочности или удешевления.

Стоит учитывать, что ответы в подобных задачах раскладывали в соответствующей весовой системе мер:

1 марка = 8 унций,
1 унция = 4 кварты,
1 кварта = 36 карат.

Верим в вас и желаем удачи, дорогие будущие купцы. Ждём ваши ответы в коментах под спойлером.

#задача

Ненадолго прервём историческое вещание и поговорим о фракталах.

🔄Фрактал — это самоподобная фигура🔄

Если приблизить её кусочек, он окажется похож на всю фигуру целиком. В идеальной математической вселенной фракталы могут быть бесконечно подробными. В реальности, конечно, всё ограничено: пикселями, атомами или… терпением художника.

У фракталов есть одно особенно занятное свойство — нецелая размерность. Познакомимся с ним на примере небольшой задачи с треугольником Серпинского:

🔸Условие: представим, что нам каким-то чудом удалось сделать треугольник Серпинского из железной пластинки. Пусть его сторона равна 1, а масса равна x.

🔸Вопрос: чему будет равна масса такого же треугольника Серпинского со стороной 2?

⠀

*️⃣

Ответ:

3x

⠀
Почему не 2x, не 4x и не 8x?

Посмотрите на иллюстрацию к посту: большой треугольник Серпинского со стороной 2 собирается из трёх одинаковых маленьких треугольников со стороной 1. Значит, если каждый маленький весит x, то большой весит 3x.

Для обычных фигур это не характерно: если увеличить длину отрезка в 2 раза, его масса вырастет в 2 раза. Если увеличить сторону квадрата в 2 раза, площадь и масса вырастут в 4 раза. Если увеличить ребро куба в 2 раза, объём и масса вырастут в 8 раз.

То есть масса растёт как 2ᵈ, где d — размерность фигуры:

1D: 2¹ = 2
2D: 2² = 4
3D: 2³ = 8

А у треугольника Серпинского получилось 2ᵈ = 3.
Значит, d = log₂3 ≈ 1,585.

Это и есть нецелая размерность.

Об этом и других свойствах фракталов будут подробно рассказывать наши друзья на фестивале «Фрактальная Одиссея» 23 мая в Москве. Там можно будет узнать много интересного о фракталах, самоподобии и симметрии в науке и искусстве.

Коллеги также собрали «Галерею самоподобных форм» — выставку из девяти фрактальных фигур, расположенных в порядке их открытия, от множества Кантора до папоротника Барнсли.

Уверены, что событие будет очень эффектным и содержательным. Приходите ❤️

#рекомендуем

⬆️ Смогли бы сдать экзамен по математике в 1478 году?

Оставляем в посте шпаргалки, с которыми точно сможете.

Этим задачам из Тревизской арифметики более 500 лет. Начинается книга весьма высокопарно: «Всё существующее с начала времён обязано своим происхождением числу».

Далее автор рассматривает пять основных матопераций, а остальная часть книги устроена как сборник с перечнем правил, которые прилежный ученик должен запомнить и использовать.

Двухлетний курс был рассчитан на мальчиков примерно от 11 до 16 лет — сыновей купцов и ремесленников XV века. Они часто учились неполный день, помогая в семейном деле. Окончание курса позволяло работать клерком или учеником купца.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀📚📚📚

А теперь немного о сложностях, которые могут вызвать у вас эти задачи:

⠀
Нет десятичных дробей
⠀
Студенты того времени тратили годы на заучивание таблиц умножения (иногда до 30×30) и методов деления, таких как «метод галеры». Опытные купцы могли выполнять такие вычисления довольно быстро в уме.

Помните, что десятичных дробей в ту пору не было? Поэтому конвертация без них — ещё та история.

Кроме того, в тексте часто встречаются слова, означающие три номинала монет: дукаты — крупная единица из золота, гроссо — средняя единица из серебра, а пикколо — мелочь, в составе которой медь и немного серебра.

На момент написания книги, требовалось выполнять вычисления с учётом соотношения: 1 дукат = 24 гроссо = 768 пикколо.

На самом деле монет было гораздо больше, а соотношения между ними — сложнее, чем можно предположить. В Венеции того времени, например, часто также использовались лира и сольдо: 1 лира = 10 дукатов = 20 сольдо.

*️⃣Венецианский золотой дукат оставался стабильным веками: в нём содержалось примерно 3,545 грамма чистого золота, что в наши дни соответствует примерно 30-35 тыс. рублей.

Кстати, текст содержал задачи для портных, среди которых были и арифметические и геометрические:

▶️Если один ярд алой ткани стоит 5 дукатов, сколько будут стоить 85 ярдов?

▶️Есть 9⅔ ярда ткани шириной 2¾ ярда. Нужно сделать из неё одежду и подкладку шириной 1⅛ ярда. Сколько подкладки потребуется?⠀

⠀
Отличия метрических систем
⠀
Ещё одной любопытной категорией задач являются задачи на бартер. Они требуют отдельных вычислений, так как система мер того времени сильно отличается от нашей:

▶️Есть два купца, которые хотят обменять товары. У одного есть 1 песо бальзама стоимостью 150 дукатов. Он хочет обменять его на три вида товаров: воск по 5 дукатов за центнер, сахар по 6 дукатов за центнер и имбирь по 8 дукатов за центнер. Он хочет получить одинаковое количество каждого из трёх видов товаров. Сколько каждого товара ему нужно?

Единица измерения «песо» — это староитальянская мера веса. В самой книге она записывается на венецианском диалекте как pexo, происходит от итальянского peso (вес, гиря, мера) и латинского pensum (взвешенный).

Если вы находите созвучие с современными мексиканскими песо или британскими пенсами (pence) и фунтами (pound) стерлингов — это не случайно. В приложении в конце книги уточняется, что 1 центнер = 4 песо = 100 фунтов = 1200 унций, то есть песо — промежуточная единица между фунтом и центнером.⠀

⠀
Никаких калькуляторов
⠀⠀
Представьте, что все эти задачи нужно решить без калькулятора, десятичных дробей и алгебры! Уверены, многие из приведённых выше примеров заставили бы вас попотеть.

Последний девятый пример на карточках напоминает уже даже не задачу из программы средней школы, а скорее печально известную «экономическую задачу» из ЕГЭ.

В те времена задачи на справедливое распределение прибыли между партнерами по бизнесу пропорционально их вложениям выделяли в отдельную важную категорию.

Предлагаем вам испытать свои силы. Самые смелые, чур никаких «пусть x». Только средневековье, только хардкор! Ответы ждём в комментариях.

#история