🔄Фрактал — это самоподобная фигура🔄
Если приблизить её кусочек, он окажется похож на всю фигуру целиком. В идеальной математической вселенной фракталы могут быть бесконечно подробными. В реальности, конечно, всё ограничено: пикселями, атомами или… терпением художника.
У фракталов есть одно особенно занятное свойство — нецелая размерность. Познакомимся с ним на примере небольшой задачи с треугольником Серпинского:
🔸Условие: представим, что нам каким-то чудом удалось сделать треугольник Серпинского из железной пластинки. Пусть его сторона равна 1, а масса равна x.
🔸Вопрос: чему будет равна масса такого же треугольника Серпинского со стороной 2?
⠀
*️⃣
Ответ:
3x
⠀
Почему не 2x, не 4x и не 8x?
Посмотрите на иллюстрацию к посту: большой треугольник Серпинского со стороной 2 собирается из трёх одинаковых маленьких треугольников со стороной 1. Значит, если каждый маленький весит x, то большой весит 3x.
Для обычных фигур это не характерно: если увеличить длину отрезка в 2 раза, его масса вырастет в 2 раза. Если увеличить сторону квадрата в 2 раза, площадь и масса вырастут в 4 раза. Если увеличить ребро куба в 2 раза, объём и масса вырастут в 8 раз.
То есть масса растёт как 2ᵈ, где d — размерность фигуры:
1D: 2¹ = 2
2D: 2² = 4
3D: 2³ = 8
А у треугольника Серпинского получилось 2ᵈ = 3.
Значит, d = log₂3 ≈ 1,585.
Это и есть нецелая размерность.
Об этом и других свойствах фракталов будут подробно рассказывать наши друзья на фестивале «Фрактальная Одиссея» 23 мая в Москве. Там можно будет узнать много интересного о фракталах, самоподобии и симметрии в науке и искусстве.
Коллеги также собрали «Галерею самоподобных форм» — выставку из девяти фрактальных фигур, расположенных в порядке их открытия, от множества Кантора до папоротника Барнсли.
Уверены, что событие будет очень эффектным и содержательным. Приходите ❤️
#рекомендуем