NeuroGeometry

Р90:

На высоте AD треугольника ABC отмечена точка K такая, что AK=2KD.На прямых BK и CK выбраны точки B1 и C1 такие, что треугольники AB1C и AC_1B равнобедренные. Докажите, что углы BAC1 и CAB1 равны.

Дорогие подписчики, мы с Ваней Полянским представляем вам КРОПОЛЯТОР!

‎Теперь машина умеет считать задачи не только в комплексных (компланатор), но и в БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ (бариканатор, можно переключить движок) координатах! Также появилась возможность работать с КОНИКАМИ.
‎
‎Также в компланатор мы встроили ГЕНЕРАТОР ЗАДАЧ. На вход он принимает нарисованную конструкцию, пользователь ограничивает число построений в теореме, количество слоев и бюджет поиска, после чего машина ищет ВСЕ ТЕОРЕМЫ с данными ограничениями (НЕ СЧИТАЮЩИЕСЯ В УГЛАХ). Простенький алгоритм сортирует задачи по интересности (чаще всего не супер), к каждой есть опция нарисовать и получить текстовое условие. Очевидные факты часто проскакивают, но в целом их не так много.
‎
‎Генератор может работать довольно долго (час-два), если дать ему слабые ограничения на постноения и большой бюджет. Так что перед использованием попробуйте сгенерировать базовые теоремы (не считающиеся в углах!!).
‎
‎Если вам удалось нагенерировать что-то интересное, мы просим показать нам, может, даже на олимпиаду закинем.
‎
‎Совершенствоваться еще есть куда, поэтому новые апргейды будут (нужно научить генератор проверять теоремы на следствия, реализовать баянатор, научить придумывать синтетику и т.д.). Пока что подписчики канала могут забрать крополятор по ссылке через бот:

https://t.me/WhatTheFileBot?start=CMNqfAkQLgxFICWBAc2YAKSQCUpGRfFNMHHhz31IJpdF6r3gBy1fBA

Задача 89:

P_aP_bP_c - чевианный треугольник точки P относительно ABC, окружности (P_aP_bC) и (P_aP_cB) пересекаются в точке M, на прямой MP_a выбрана такая точка K, что PK параллельна ВС, Q - отражение K относительно P.Докажите, что P_cP_bPQ - вписанный четырехугольник.

Задача 88:

В треугольнике ABC отмечены точки Торричелли T1 и T2 и центроид M.Докажите что педальные окружности точек A, B и C относительно треугольника T1T2M соосны

Задача 87:

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.Касательная в точке A к окружности (APQ) пересекает (ABC) в точке K.Оказалось, что PQ проходит через точку пересечения медиан G, докажите, что тогда окружность (KPQ) проходит через центр (ABC)

Геома с рега как-то не впечатлила(( Так что порешайте вот этот шедевр

Задача 86:
Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC. Луч PQ пересекает (ABC) в точке R. Прямая, симметричная BC относительно PQ, пересекает AR в точке X. Докажите, что точки A, P, Q, X лежат на одной окружности

Задача 85:

Внутри треугольника ABC выбрана такая точка P, что сумма углов PAB + PBC + PCA = 90. Также известно, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке, где D, E, и F - проекции P на стороны треугольника. Найдите все такие точки P

С новым годом!🎄

Задача 84:

Дан треугольник ABC. Касательные в B и C к (ABC) пересекаются в T. Точки X и Y на BC таковы, что AX // BT и AY // CT. M и N - середины AB и AC. Докажите, что прямые MX, NY и AT пересекаются в одной точке

Задача 83:

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. На (ABC) выбирается произвольная точка P. Серпер к AP пересекает AB и AC в точках X и Y.  M и N - середины AC и AB. Докажите, что прямые AP, MX и NY пересекаются в одной точке

Задача 82:

Дан треугольник ABC с инцентром I. Отличная от BC прямая, касающаяся его вписанной окружности и параллельная BC, пересекает (ABC) в точках X и Y. Докажите, что AX * AY = AI²

Задача 81:

Не так давно благодаря кубку Колмогорова стал печально известен внешний случай леммы Саваямы, который, конечно, не верен, в чем легко убедиться простым советским построением в геогебре. По такому случаю предлагаю порешать внешний случай аватарки GeoCraft (формулировать я ее не буду, а то еще скажут, что неверно...)

Сегодня 1 декабря, а это значит, что начался заочный тур олимпиады имени И.Ф.Шарыгина!

На сайте уже появился вариант! По-моему он довольно хороший. Приятного времяпровождения!

Задача 80:

Сегодняшнее обсуждение в олгео напомнило вот такую задачу, думаю условие и из картинки всем понятно. А изначально в чате всплыл следующий факт:
Дана коника с фокусом F и касающаяся ее прямая l. Докажите, что проекция F на l лежит на фиксированной окружности, не зависящей от выбора l

Парабола с фокусом F касается сторон АВ и АС треугольника АВС, она пересекает сторону ВС в точках M и N, а прямая АF пересекает ВС в точке W.доказать что окружности (МWF) и (NWF) касаются окружности (АВС)

Задача 79:

Задача 78:

Дан гармонический четырехугольник ABCD. Точка K на прямой AB такова, что угол BCK прямой. Прямая KD пересекает AC и (ABC) в точках N и E. H - основание высоты из A на BC, M - середина отрезка AC, F - середина дуги BAC. Оказалось, что четырехугольник BHMF - вписанный. Докажите, что BE = AN

Задача 77:

Дан треугольник ABC с прямым углом A и точка D на его катете AC. Пусть E - отражение A относительно BD. Точка F на CE такова, что DF перпендикулярно BC. Докажите, что прямые AF, DE и BC пересекаются в одной точке.

Задача 76:

Пусть I - инцентр ABC, D - точка касания вписанной с BC, P - проекция I на сер пер к AD. Докажите, что углы BPI и CPI равны

Отличие от случая инцентра в том, что инцентр всегда лежит внутри вписанной окружности, а вот точка P при P-сопряжении может быть как внутри, так и вне (да, да, на окружности тоже может быть). Если она внутри, то таких пар точек 3: пересечения прямых, образованных точками пересечения прямых B1C1 с AP, A1B1 с CP, A1C1 с BP, с вписанной окружностью. Если же P снаружи, то добавляется пара точек, являющихся пересечениями поляры P с вписанной окружностью, и сопряженных пар в итоге 4. Отсюда и получилась задача, которая была на финале ЮМТ.

А конструкция с картинки является леммой для доказательства утверждений про колличество пар P-сопряженных точек: зеленые прямые P-сопряжены для верхнего угла <=> пунктирные прямые проходят через синие точки, где синие прямые - это AP и дополняющая AB, AC, AP до гармонической четверки