Математические байки

Как ещё увидеть, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер, это квадрат?
Очень просто: нужно взять тетраэдр Серпинского, ясную, солнечную погоду и выйти на улицу.

Двое играют в такую игру. У каждого имеется набор гирь весом от 1 до 55 г. Есть ещё чашечные весы. Игроки по очереди выставляют свои гири на весы — каждый на свою чашку, пока гири не кончатся.

Если в ходе игры наступит момент, когда разность весов между чашками станет равной ровно 50 г (причём неважно, какая чашка окажется тяжелее), то начинающий считается проигравшим, а если такой момент не наступит, проигрывает его соперник.

Кто победит?

Предлагайте стратегии для игроков в комментариях, завтра напишем решение.

https://mccme.ru/ru/nmu/raspisanie

появляется расписание НМУ в осеннем семестре. занятия начинаются с первой недели сентября

все как обычно:
математика «без смс и регистрации» по вечерам для всех желающих заниматься;
будут появляться видеозаписи и прочие материалы;
кто сдает в конце семестра сессию — те и считаются студентами

Пьер Картье (10.06.1932–17.08.2024)

Семинар КТ возвращается. Александр КАЛМЫНИН. Воскресенье, 11 августа

✅ Последовательности в коротких интервалах

Многим известна такая элементарная задача: доказать, что для любого N можно найти N подряд идущих составных чисел. В аналитической теории чисел у неё есть продолжение, которое состоит в том, чтобы оценить снизу наибольший промежуток между простыми числами, не превосходящими данной величины X.

Можно задаваться и обратным вопросом, то есть доказывать, что отрезок [0,X] не может содержать слишком длинных отрезков, в которых нет простых чисел. Аналогичные вопросы можно задавать и про разные другие последовательности из теории чисел: бесквадратные числа, суммы двух квадратов, нормы элементов числовых полей и т.д.

Я расскажу об этих и некоторых других задачах такого вида, что про них известно и что предполагается. Особое внимание постараюсь уделить значениям квадратичных форм от двух переменных.

Лекция доступна слушателям начиная со старших классов матшкол. Из требований для понимания: не смущаться, когда на экране появится выражение вроде loglogloglog X/logloglog X:) Все нужные теоремы из теории чисел я сформулирую.

⭐️ Александр Калмынин — к.м.н., доцент матфака ВШЭ, специалист по аналитической теории чисел.

📍 Начало в 18:00 МСК/15:00 GMT.

📌 Приглашаются все желающие!
Ссылка на Zoom.

✉️ КАНАЛ СЕМИНАРА

#семинар_кт #анонс

Можно ещё всё это сделать прямо в трёхмерном пространстве — благо, что третье (перпендикулярное плоскости орбиты) направление задаётся вектором момента импульса. И тогда новый сохраняющийся вектор «виртуального» момента тоже будет там же — и вроде бы (я не доводил счёт до конца, но ничего другого получиться не должно) это должен быть вектор Лапласа—Рунге—Ленца, разве что, делённый на квадрат массы (и может быть, ещё на какую-нибудь константу?).

\sqrt{r^2 + (vt)^2} = r \sqrt{1 + (vt/r)^2} = r + (1/2) (vt)^2 / r + o(t^2),
так что вторая производная равна

v^2/r = (vr)^2 / r^3.

Числитель — (vr)^2 — это квадрат углового момента. Так что он вдоль орбиты всегда один и тот же!
А знаменатель r^3 — как раз и соответствует закону всемирного тяготения: куб, как и раньше. Так что, если взять константу
l = (vr)^2/ (GM),
то для разницы (r-l) будет
(r-l)’’ = r’’ = hr + (vr)^2 / r^3
= - GM r / r^3 + (vr)^2 / r^3
= - GM / r^3 * (r- l)
= h (r-l).

Так что трёхмерный вектор R = (x,y,r-l) подчиняется центральному закону
R’’ = h R, h = -GM/r^3.

Ура — теорема доказана!

В исходной плоскости (x,y) действует радиальная сила, поэтому вектор ускорения (x’’,y’’) пропорционален радиус-вектору r=(x,y) — с коэффициентом
h=-GM/r^3
(в знаменателе куб, потому что нам нужен единичный вектор в нужном направлении, а это отношение r/r, вот ещё одна степень r в знаменателе и появляется).

Поэтому
x’’ = hx
y’’ = hy.

Если бы радиус r был линейной комбинацией x и y, то для его второй производной было бы такое же соотношение, и центр даже двигать бы не пришлось. Но — давайте зафиксируем единичный вектор b=(b_x,b_y), в начальный момент направленный по радиусу, и рассмотрим линейную функцию (r,b) = b_x x + b_y y.

Эта линейная функция в первом порядке совпадает с радиусом r, а на радиальном луче совпадает с ним совсем. Так что их вторые производные будут отличаться только за счёт вклада от перпендикулярного радиусу движения точки :

r’’= b_x x’’ + b_y y’’ + (вклад от перпендикулярного движения)
= hr + (вклад от перпендикулярного движения)

Если v — это нормальная к радиусу компонента скорости, то этот вклад это
v^2 * (вторую производную радиуса при движении по касательной к окружности),
или, что то же самое, вторая производная при движении по касательной к окружности со скоростью v.
И вот сейчас момент импульса (секториальная скорость) и вылезет — ведь ровно за него/неё перпендикулярная радиусу скорость v и отвечает!

Как такую теорему можно доказывать? Оказывается, что и трёхмерный «виртуальный» вектор R будет меняться, как если бы он подчинялся (некоторому) центральному закону притяжения с этим самым центром A=(0,0,l). И если это так — то и «виртуальный» момент относительно точки A,
N= [(R-A) x R’]
тоже сохраняется — и значит, вектор R движется в одной плоскости через точку A.

А как увидеть такое это поведение вектора R=(x,y,r)? Тем более, что именно здесь нужно воспользоваться тем, что в законе притяжения стоят именно обратные квадраты?

У Гивенталя приведена явная выкладка — которая легко прослеживается, но мне кажется, можно пройти чуть-чуть иначе.

Давайте я перескажу это рассуждение. Вот из закона сохранения момента импульса (посчитанного, конечно, относительно Солнца) мы знаем, что орбита всегда лежит в одной плоскости — нормалью к которой вектор момента импульса и будет. Но это правда для любой центральной (направленной по радиусу) силы, не обязательно действующей по закону обратных квадратов.
А почему при законе тяготения орбиты получаются коническими сечениями? Как увидеть тот конус?

Гивенталь предлагает: раз орбита всё равно плоская, пусть это будет плоскость (x,y), и рассмотрим «виртуальное» трёхмерное пространство (x,y,r) с конусом
r^2 = x^2+y^2.
«Поднимем» орбиту на этот конус — над каждой точкой (x,y) рассмотрим соответствующую ей точку (x,y,r).
Теорема. Получающиеся точки все лежат в одной плоскости, проходящей через некоторую точку (0,0,l) — где величина l задаётся угловым моментом (точнее, секториальной скоростью — массу стоит сразу сократить).

Поэтому «поднятые» точки образуют коническое сечение — а потому коническим сечением будет и их проекция на плоскость (x,y).

Очень классная статья — A. Givental, Kepler’s Laws and Conic Sections, Arnold Math. J., 2016 (pre-print version: https://math.berkeley.edu/~giventh/kepler_091615.pdf , ref.: https://link.springer.com/article/10.1007/s40598-015-0030-6 ).

Вот главная картинка оттуда:

Про геометрию вокруг законов Кеплера следует читать и пересказывать статью Гивенталя -- Kepler’s laws and conic sections (вышла в 2015 году в Арнольдовском математическом журнале).

Это вот про что: по ньютоновскому закону обратных квадратов точки двигаются по коническим сечениям. Это многие знают, некоторые даже могут доказать. Но как увидеть конус и сечение его плоскостью, связанный с орбитой? Обычно выводится уравнение конического сечения в полярных координатах (его уже не все помнят). Вот Гивенталь нашел этот конус и объяснил связь с геометрией конических сечений.

Сегодня, еще не зная про эту статью Гивенталя, проснулся с идеей: кто-то должен написать про это листочек для школьников. Обнаружив статью и предшествующее ей изложение результатов Гивенталя в обзоре Арнольда, Козлова и Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики" понял: это в общем сделано!

Случайные метрические графы

Вот вам для затравки небольшой сюжет, про теорему Фриза https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X85900587

Я хз, можно ли его вывести из асимптотической теории, про которую написано ниже, но не удивлюсь, если так это и делается. Я вообще не знаю особо результатов из тервера, которые бы не доказывлись применением преобразования Лапласа/Фурье.

Рассмотрим полный граф на n вершинах и независимо припишем его ребрам случайные длины - из равномерного распределения на [0,1]. Тогда при n-->∞ длина минимального остовного дерева (MST) такого графа равна константе Апери ζ(3) (дзета-функции от 3, сумма обратных кубов натуральных чисел). Ну, более строгая формулировка, что для любого ε>0 вероятность того, что длина MST не лежит в интервале [ζ(3)-ε, ζ(3)+ε] стремится к нулю.

И так-то, когда в первый раз видишь эту теорему, думаешь, WTF? Если длина ребра в среднем равна 1/2, то казалось бы остовное дерево должно иметь длину что-то вроде n/2, почему она вообще констнанта.

Но тут, конечно, можно разобраться. У нас порядка n^2/2 ребер, случайно натыканных из отрезка. Ясно, что для минимального дерева нужно брать те ребра, которые покороче, их нужно n-1 штук. Но n самых коротких ребер будут кучковаться где-то в отрезке [0,1/n), поэтому сумма их длин получается порядка константы.

Отсюда неудивителен общий факт, доказанный Фризом. Условие, что длины ребер взяты из равномерного распределения - вообще не важно. Важно, что распределение длин F(x) удовлетворяет условию F'(0+0)=1. В общем случае (если F(0+0)=0), то длина MST равна ζ(3)*F'(0+0).

Таким образом, для глобального свойства - длины MST - важно только свойство распределения длин вблизи нуля. Как ведут себя длинные ребра - не важно, потому что они в MST просто не попадут.

То, что в пределе получается именно такая константа - безумно красивый результат, кмк. Довольно легко, кстати, прогается. Приятное поле для экспериментов.

ЛШСМ-2024: чуть больше, чем через час, в 9:30, начнётся лекция Ю. С. Ильяшенко про вывод законов Кеплера:
https://www.youtube.com/live/C8C4Uvazrgg

https://www.math.columbia.edu/~okounkov/AMScolloq.pdf

хочется напонить еще текст «Limit shapes, real and imaginary» Андрея Окунькова

«We are surrounded by random surfaces. In fact, every shape around us is random on a sufficiently small scale. The definite shapes that we perceive are manifestations of the law of large numbers that makes averages much larger than the fluctuations around them. Same law is at work e.g. with a balloon floating through the air. Our eyes trace out a smooth trajectory while air molecules hit the balloon randomly from all directions.

Can mathematical physics link the microscopic dynamics to the resulting macroscopic shape, say, for objects of inorganic natural origin? The endless variety of snowflake shapes produced by commonplace water under ordinary conditions illustrates how challenging this question is.

Yet, at or near equilibrium a successful theory explaining the macroscopic shape from the microscopic laws may be developed. It requires deep and powerful mathematics that we can only begin to explore it the course of 3 lectures. In turn, it impacts areas of mathematics that may seem very distant from equilibrium crystals or liquid droplets.

Mathematics and physics are full of random geometric objects, especially when surveyed with a trained eye. In dealing with them, the experience and intuition acquired in the study of equilibrium crystals can be very valuable.

***

The main goal of this lecture is to provide an accessible introduction to an area of mathematical physics that I, personally, find captivating. (…)»

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

https://www.youtube.com/live/fctLDA1Vnp8

24 июля на ЛШСМ в 11:15 Н.Ю.Решетихин будет рассказывать про димерные модели в статистической механике (или, говоря по-простому, про разбиения на доминошки)

https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0

25 июля в 15:30 — А.П.Веселов про алгебру многогранников и обращение рядов

https://youtu.be/tInOfndgesE

…или вот более популярные рассказы Михаила Анатольевича

https://youtu.be/r257kL7UTsc

к юбилею М.А.Цфасмана пусть здесь будет запись его недавней лекции на ЛШСМ-2021 «Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров»

https://mccme.ru/dubna/2024/

приближается ЛШСМ-2024 (доступно расписание, анонсы курсов; планируются прямые трансляции большинства пленарных лекций)

утром в субботу всё начнется с лекции А.А.Разборова про арифметическую комбинаторику и лекции С.К.Смирнова про замощения