Математические байки

https://wolffund.org.il/2023/02/07/ingrid-daubechies/

премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ

О, это замечательно!

https://t.me/sweet_homotopy/1765 и далее — про то, как рисовать тор, зачем ему рога, про складки и сборки…

Просто красивое: текущие рабочие картинки. Подробности будут, но потом. : )

Так вот, давайте увеличивать энергию нашей материальной точки, не переходя через энергию локального максимума — чтобы f не улетела в минус бесконечность. Тогда на « холм » перед пропастью точка будет вкатываться всё дольше — и всё дольше будет с него скатываться. А в пределе, поставив энергию в точности равной локальному максимуму U, мы получим решение, которое и в плюс, и в минус бесконечности будет стремиться к верхней точке « холма »!
(Синий и фиолетовый графики — энергии, которым чуть-чуть не хватает до предельной. Красный — предельное значение.)
Мы почти построили солитон… только вот стремится он на бесконечности не к нулю, а всего лишь к константе.

Давайте подумаем. Частота колебаний на разных уровнях энергии может быть разной — вот тут на E=0 (синий график) наложили колебания с E=-1 (малиновый).

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=0 (зелёная линия) — то он будет колебаться взад-вперёд в потенциальной яме. Это уже лучше — потому что мы всё-таки получим решение, которое просто едет вперёд с постоянной скоростью. Но это не « одна волна », оно периодично и потому отказывается убывать на бесконечности!

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=3 (малиновая линия) — то он просто улетит в минус бесконечность. То есть вместо настоящего солитона f(x) у нас будет что-то, уходящее в минус бесконечность на конечной области переменной x. И это совершенно не то, что хочется.

Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии »
U(f)=f^3 - 2 f^2 - 2 f

Первое замечание — мы только что научились решать (ну, с использованием « волшебной палочки » в виде неопределённого интеграла, но это в этой науке традиционно) одномерные автономные дифференциальные уравнения первого порядка. А сводя к ним с помощью закона сохранения энергии — и одномерные уравнения классической механики (уравнения Ньютона).

Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.

Итак,
(1/2) f_x^2 + U(f) = E,
где E — (ещё одна неизвестная) константа. Это позволяет выразить (с точностью до знака) « скорость » f_x через « положение » f,
df/dx = f_x = \pm \sqrt{2 (E-U(f))}.
Иными словами, нам известна (ну, с точностью до знака) « скорость » f_x в любом « месте » f. Значит, мы знаем, сколько « времени » x нужно, чтобы пройти от одного значения f до другого: время в пути это интеграл по пути от единицы на скорость. Иными словами, если домножить на dx и поделить на выражение для f_x, получится
df/ \sqrt{2 (E-U(f))} = \pm dx,
и интеграл в левой части это функция от f, а в правой от x.

Потенциальная энергия
U(f) = f^3 - 2c f^2 + 4Af,
и следующий шаг тут — стандартный при работе с уравнением Ньютона: закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии,
(1/2) f_x^2 + U(f),
не зависит от x. Можно, конечно, проигнорировать физический смысл происходящего и просто сказать, что мы домножаем уравнение на f_x, после чего опять оно оказывается производной по x — как раз от « полной энергии ». Потому что f_x f_xx это как раз производная от (1/2) f_x^2, ну а -F(f) f_x получается при дифференцировании U(f(x)).

Во-вторых, уравнение (давайте его сразу на 4 умножим)
f_xx = F(f),
где F(f) = - 3 f^2 + 4c f + 4A —
это уравнение Ньютона: движение материальной точки f(x) в поле сил F(f), отвечающего потенциальной энергии U(f), для которой F(f)=-U’(f). Только роль времени играет координата x!

Во-первых, можно заметить, что выражение выше это производная по x от чего-то явного. Потому что
f * f_x = (f^2/2)_x;
и в сумме выражение это производная от
-c f + (3/4) f^2 + (1/4) f_xx.
И раз производная равна нулю — то это выражение равно (неизвестной) константе A.

Давайте теперь посмотрим, как можно искать солитонные решения?

Солитон движется, сохраняя свою форму. То есть нас интересует решение, которое просто движется вперёд с фиксированной скоростью c. Это значит, что производная u_t это просто -c*u_x. И наоборот, если в начальный момент времени у нас выполнено равенство u_t = -c * u_x (и мы верим в единственность решения), то решение и дальше « поедет со скоростью c », будет иметь вид
u(t,x) = u(0,x-ct).
И вот мы и получаем уравнение на профиль f(x)=u(0,x) солитона: нужно просто заменить u_t на -cu_x в уравнении КдФ. Итого:

-c f_x + (3/2) f f_x + (1/4) f_xxx = 0.

Будем решать? (Сейчас окажется, что всё вполне решается, причём с интересными промежуточными шагами.)

Добавлю (к пересылаемому) от себя — Тадаси совершенно прекрасен! Очень много что я узнал в первый раз от него, включая истории про приливы, про муары (как раз то, что я тут рассказывал), и так далее.

https://youtu.be/POmhapS12mA

Tadashi Tokieda. Pure Mathematics as Applied Physics

24.01 7pm ET = 25.01, 03:00Msk
(неловко анонсировать мероприятие в такое время, но лектор совершенно замечательный, а записи не планируется)

Humans tend to be better at physics than at mathematics. When an apple falls from a tree, there are more people who can catch it—they know physically how the apple moves—than people who can compute its trajectory from a differential equation. Applying physical ideas to discover and explain mathematical results is therefore natural, even if it has seldom been tried in the history of science. (The exceptions include Archimedes, some old Russian sources, a recent book of Levi’s, as well as my articles and lectures.) A variety of elementary yet surprising examples will be presented.

А что с положениями этих групп? Как и раньше — более быстрая группа сдвигается вперёд, а более медленная назад!
(Опять же, можно думать об упругом столкновении, когда задняя группа передаёт свой импульс передней.)