Давайте теперь посмотрим, как можно искать солитонные решения?

Солитон движется, сохраняя свою форму. То есть нас интересует решение, которое просто движется вперёд с фиксированной скоростью c. Это значит, что производная u_t это просто -c*u_x. И наоборот, если в начальный момент времени у нас выполнено равенство u_t = -c * u_x (и мы верим в единственность решения), то решение и дальше « поедет со скоростью c », будет иметь вид
u(t,x) = u(0,x-ct).
И вот мы и получаем уравнение на профиль f(x)=u(0,x) солитона: нужно просто заменить u_t на -cu_x в уравнении КдФ. Итого:

-c f_x + (3/2) f f_x + (1/4) f_xxx = 0.

Будем решать? (Сейчас окажется, что всё вполне решается, причём с интересными промежуточными шагами.)