о математике и не только

R.I.P.

Fair enough.

Пьер Картье (10.06.1932–17.08.2024)

Одно очень красивое замечание Картье такое:
Когомологии де Рама аффинной прямой в характеристике 0 устроены скучно: они сосредоточены в степени 0 и там это просто константы. А чему равны когомологии де Рама аффинной прямой над F_p?
В степени 0: поскольку мы в характеристике p, производная x^p равна нулю. Более общо, производная р-ой степени любого полинома тоже 0. Более того, это iff. То есть нулевые когомологии это p-ые степени полиномов, что можно отождествить с полиномами.
В степени 1: в характеристике р у нас нет леммы Пуанкаре, поскольку когда мы обычно находим первообразную, там есть знаменатели и иногда они делятся на р. В качестве примера можно взять x^{p-1} dx и она не интегрируется. Более общо, для любой формы dg можно взять g^{p-1} dg и её не проинтегрировать.
Мораль: для аффинной прямой H^0 это функции и H^1 это формы. И то, и то, бесконочномерные векторные пространства над F_p. Оказывается, аналогичный результат верен для любой гладкой над F_p аффинной схемы.
Это наблюдение ключевым образом используется в работе Делиня-Иллюзи о вырождении спектралки Ходжа-де Рама.

От моноидов к ∞-монадам

Один коллега вовлёк меня в проект, где мне нужно пользоваться ∞-категориями, и ∞-монадами. В меня как-то ∞-монады с трудом заходили, и это побудило меня начать писать этот пост. Замысел был в том, чтобы рассказать про то, как идея моноида развивается на разных уровнях: обычный моноид, моноид в категории, моноидальная категория, моноид в моноидальной категории, монада, моноидальная ∞-категория, моноид в моноидальной ∞-категории, ∞-монада. Хотелось красиво показать, что это такая непрерывная спираль развития идей, в которой предыдущий этаж необходим для следующего. Однако в процессе написания этого поста я узнал, что есть эквивалентное определение ∞-монады, для которого не обязательно знать, что такое моноидальная ∞-категория. К тому моменту пост уже был очень большим, и мне он показался какой-то совершенно бессмысленной графоманией, и я передумал его постить. Но потом я вспомнил, что группа называется свалкой, и решил его запостить всё равно. Можете считать, что это что-то типа дневника моих попыток понять, что такое ∞-монада, и просто рассуждения на тему моноидального.

∙ Моноиды
∙ Моноидальные категории
∙ Моноиды в моноидальных категориях
∙ Монады
∙ Ходячий моноид
∙ О бухгалтерском учёте
∙ Расслоения Гротендика
∙ Псевдофункторы и расслоения
∙ Моноидальные категории как оп-расслоения
∙ Моноиды как сечения оп-расслоений
∙ Выпрямление-развыпрямление
∙ Моноидальные ∞-категории и моноиды в них
∙ Моноидальная ∞-категория эндофункторов
∙ ∞-монады
∙ Список литературы

https://medium.com/@ivanov.s.o.1986/от-моноидов-к-монадам-46cac1e0fae6

Очень толковый текст, из которого можно подчерпнуть по крайней мере 2 важные идеи: трюк Гротендика как формализовать понятие “пучок со значениями в категориях” (например если хочется думать про QCoh как про пучок) и трюк (Лури?) как определить монады не таская за собой бесконечное число данных высших когерентностей.
Добавлю, что понятие монады очень важно в связи с теоремой Барра-Бека о монадичности, которая точно входит в топ самых полезных утверждений из теории категории. Многие классические утверждения являются следствиями этой теоремы: плоский спуск в алгебраической геометрии, двойственность Картье про представления, etc..

Современные проблемы требуют современных решений.

Не знаю, кем мир видит меня; в своих же собственных глазах я просто мальчик, играющий на берегу, отвлекающий себя от забот жизни поиском самых гладких галек и красивых ракушек, выброшенных из простирающегося передо мной величественного и неизведанного океана истины.


размышления сэра Исаака Ньютона

Цитата красивая! Я попытался найти источник и, по всей видимости, не очень понятно действительно ли это сказал Ньютон:

“You may have seen this quote, attributed to Isaac Newton, but how sure is it that he actually said it? It does not appear in his writings. In fact, it seems it did not appear in print until a collection by Rev. Joseph Spence (1699-1768), Anecdotes, Observations and Characters, of Books and Men.1 There, it is purported to have been uttered by Newton “a little before he died” (1727), and was contributed by Andrew Michael Ramsey (1686-1743, known in France as Chevalier de Ramsay). However, note that the entry for Ramsay in the Dictionary of National Biography records he was in France at the time, only returning to England in 1730, which is after Newton's death. Thus it remains unclear how Ramsay came to know of the anecdote.“ [https://todayinsci.com/N/Newton_Isaac/NewtonIsaac-PlayingOnTheSeashore.htm]

В процессе поиска я набрёл на “список грехов”, который вёл Ньютон: https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/ALCH00069
Это один из немногих сохранившихся личных документов Ньютона. Среди прочего он туда включил:
17. Stealing cherry cobs from Eduard Storer
18. Denying that I did so
ещё дважды “Relapse” и из интересного ещё “34. Not living according to my belief”
Ну, и немного для понимания религиозности Ньютона: “43. Missing chapel”

Предисловие к книжке Германа Вайля.

Из забавного: богомол в английском это Mantis (в древнегреческом это пророк), а в немецком Gottesantbeterin, где Gott — бог и antbeterin это поклонница в религиозном смысле (типа worshipper).

К-теория Z/p^n устроена очень сложно. В последнее время люди стали чуть-чуть что-то понимать про неё с помощью мотивной фильтрации и явного вычисления каких-то синтомических когомологий. В течение ~10 лет скорее всего удастся понять более менее всё, в течение же следующих года-двух, вероятно, появятся работы описывающие mod p картинку.

Интеграл Лебега как один из первых примеров расширения по Кану.

В теории категорий есть понятие расширения Кана, которое стало чрезвычайно популярным в последниие годы в алгебраической геометрии, хотя доказало свою полезность ещё 60 лет назад, когда Иллюзи с его помощью (мб не произнося слов “расширение Кана”) определил кокасательный комплекс, позволивший говорить о де Рамовских когомологиях для особых многообразий, что впоследствии было использовано Бейлинсоном и Бхаттом чтоб переосмыслить теорию Фонтена колец периодов, в общем довольно важная вещь.
Однако я хотел сказать про идею этого дела и как это связано с Лебегом. Идея такова: есть категория D с подкатегорией C и функтор F: C->T. Какие есть способы продолжить F на D? Если в T есть все пределы, то можно так: F(X)=lim F(Y), где предел берётся по категории пар (Y, x), где Y объект в С и x: Y->X.
Пусть теперь D будет ЧУМом измеримых функций на чём-нибудь, где f->g <=> f<=g. А С будет подкатегорий простых функций. Тогда есть функтор C->R (где на вещественных числах тоже структура ЧУМа), который отправляет простую функцию в её интеграл по фиксированному измеримому множеству. Расширение Кана восстаналивает определение интеграла Лебега: мы берём все простые не больше нашей функции и берём sup их интегралов.

Так вышло, что я никогда не думал почему формула длины окружности это в точности производная площади круга, ей ограниченным (с очевидным обобщением для сферы любой размерности). Не так давно друг мне это объяснил. Если вы тоже про это никогда не думали, можете сейчас подумать (это очень просто), если же не хочется, то ниже будет объяснение.

Собственно, круг можно исчерпать концентрическими окружностями, радиус которых бегает от нуля, до радиуса нашего круга. То есть площадь будет интегралом 2 pi x где х бегает от 0 до нашего радиуса, что даёт искомую связь. То же самое можно делать для квадрата, но там параметр будет бегать до половины длины стороны. Это замечание можно использовать, чтоб доказать формулу d/dx x^2 = 2x, если по какой-то причине вы сначала изучили теорию меры, а не дифференциальное исчисление.