Интеграл Лебега как один из первых примеров расширения по Кану.

В теории категорий есть понятие расширения Кана, которое стало чрезвычайно популярным в последниие годы в алгебраической геометрии, хотя доказало свою полезность ещё 60 лет назад, когда Иллюзи с его помощью (мб не произнося слов “расширение Кана”) определил кокасательный комплекс, позволивший говорить о де Рамовских когомологиях для особых многообразий, что впоследствии было использовано Бейлинсоном и Бхаттом чтоб переосмыслить теорию Фонтена колец периодов, в общем довольно важная вещь.
Однако я хотел сказать про идею этого дела и как это связано с Лебегом. Идея такова: есть категория D с подкатегорией C и функтор F: C->T. Какие есть способы продолжить F на D? Если в T есть все пределы, то можно так: F(X)=lim F(Y), где предел берётся по категории пар (Y, x), где Y объект в С и x: Y->X.
Пусть теперь D будет ЧУМом измеримых функций на чём-нибудь, где f->g <=> f<=g. А С будет подкатегорий простых функций. Тогда есть функтор C->R (где на вещественных числах тоже структура ЧУМа), который отправляет простую функцию в её интеграл по фиксированному измеримому множеству. Расширение Кана восстаналивает определение интеграла Лебега: мы берём все простые не больше нашей функции и берём sup их интегралов.