Так вышло, что я никогда не думал почему формула длины окружности это в точности производная площади круга, ей ограниченным (с очевидным обобщением для сферы любой размерности). Не так давно друг мне это объяснил. Если вы тоже про это никогда не думали, можете сейчас подумать (это очень просто), если же не хочется, то ниже будет объяснение.

Собственно, круг можно исчерпать концентрическими окружностями, радиус которых бегает от нуля, до радиуса нашего круга. То есть площадь будет интегралом 2 pi x где х бегает от 0 до нашего радиуса, что даёт искомую связь. То же самое можно делать для квадрата, но там параметр будет бегать до половины длины стороны. Это замечание можно использовать, чтоб доказать формулу d/dx x^2 = 2x, если по какой-то причине вы сначала изучили теорию меры, а не дифференциальное исчисление.