Одно очень красивое замечание Картье такое:
Когомологии де Рама аффинной прямой в характеристике 0 устроены скучно: они сосредоточены в степени 0 и там это просто константы. А чему равны когомологии де Рама аффинной прямой над F_p?
В степени 0: поскольку мы в характеристике p, производная x^p равна нулю. Более общо, производная р-ой степени любого полинома тоже 0. Более того, это iff. То есть нулевые когомологии это p-ые степени полиномов, что можно отождествить с полиномами.
В степени 1: в характеристике р у нас нет леммы Пуанкаре, поскольку когда мы обычно находим первообразную, там есть знаменатели и иногда они делятся на р. В качестве примера можно взять x^{p-1} dx и она не интегрируется. Более общо, для любой формы dg можно взять g^{p-1} dg и её не проинтегрировать.
Мораль: для аффинной прямой H^0 это функции и H^1 это формы. И то, и то, бесконочномерные векторные пространства над F_p. Оказывается, аналогичный результат верен для любой гладкой над F_p аффинной схемы.
Это наблюдение ключевым образом используется в работе Делиня-Иллюзи о вырождении спектралки Ходжа-де Рама.