JustScience | Олимпиадная Математика

#задача #комбинаторика

Пусть 𝑚 ≥ 𝑛 - положительные числа. У Миши есть 𝑚𝑛 постеров с различными размерами 𝑘 × 𝑙 где 𝑚 ≥ 𝑘 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 𝑙 ≥ 1. Он должен развесить их все по очереди на стене своей спальни, не поворачивая их. Каждый раз, когда он вывешивает плакат, он может разместить его либо на свободном месте на стене, либо в таком месте, где он полностью закрывает один видимый плакат и не перекрывает другие видимые плакаты. Определите минимальную площадь стены, которую будут закрывать плакаты.

В комментариях к последней задаче был поднят насущный вопрос указания источников к выкладываемым задачам. Кто-то считает, что источник помогает сразу понять уровень задачи (и это полезно) или найти официальное решение, а кто-то считает, что это мешает беспристрастному решению самой задачи и может остановить тех, кто побоится сложной олимпиады, а также снижает мотивацию писать свои решения. Поэтому мы хотим спросить вас, уважаемые подписчики, хотели бы вы видеть источники выкладываемых задач?

#задача #теория_чисел

предлагаем задачу по тч для всех, кто ещё не провалился в сугроб

#геометрия #задача

Касательную в произвольной точке к описанной окружности треугольника ABC отразили относительно его сторон. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного тремя полученными прямыми, касается окружности (ABC).

#алгебра #задача

#комбинаторика #задача

N олигархов построили себе страну c N городами, каждый олигарх владеет ровно одним городом. Кроме того, каждый олигарх построил несколько дорог между городами: любая пара городов соединена максимум одной дорогой каждого из олигархов (между двумя городами может быть несколько дорог, принадлежащих разным олигархам). Суммарно было построено d дорог. Некоторые олигархи хотели бы создать корпорацию, объединив свои города и дороги, так чтобы при этом из любого города корпорации можно было доехать до любого другого ее города по дорогам этой корпорации, возможно, заезжая по дороге в города других олигархов. Но оказалось, что никакая группа, в которой меньше N олигархов создать корпорацию не может! При каком наибольшем d это возможно?

#теория_чисел #задача

задача по теории чисел со всероссийской олимпиады!

#геометрия #задача

Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.

#алгебра #задача

Предлагаем ещё одну задачу с турнира Колмогорова!

Существуют ли тысяча попарно непересекающихся конечных подмножеств натурального ряда с равными суммами и равными суммами обратных?

А так, это же просто Erdos-Sos problem, частный случай
В общем виде то открытая проблема, обычно ее решают для больших n, но если n определенного вида, то результаты бывают и для всех n
Например, вот тут похожее было

https://arxiv.org/pdf/2408.00484

#комбинаторика #геометрия #алгебра #задача
Предлагаем вам задачу с командной олимпиады проходящего прямо сейчас турнира Колмогорова!


Дано простое число p, пусть n=p^2+p+1. Рассмотрим семейство F из (p+1)-элементных подмножеств в n-элементном множестве X такое, что никакая пара подмножеств из F не пересекается ровно по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства F.

#теория_чисел #задача

#геометрия #задача

Пусть ABC — неравнобедренный треугольник с ортоцентром H и описанной окружностью Ω. Прямая, проходящая через H пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть K — центр окружности (AEF), и пусть прямая AK вторично пересекает Ω в точке D. Докажите, что прямая HK и прямая, проходящая через D перпендикулярно BC, пересекаются на Ω.

#алгебра #задача

Сегодня предлагаем порешать задачу про многочлены. Не забывайте делиться вашими решениями в комментариях!

#комбинаторика #задача

Муравей ползает по поверхности куба по замкнутому маршруту. Оказалось, что он всегда ползёт параллельно какому-то ребру куба, поворачивает только под прямым углом и, попадая на ребро куба, поворачивает так, чтобы ползти по следующей грани, но не по ребру. Рассмотрим прямолинейные отрезки его маршрута (от поворота до следующего поворота). Для каждой грани посчитали количество таких отрезков. Могло ли так случиться, что эти шесть количеств образуют шесть последовательных натуральных чисел в каком-то порядке?

#задача #теория_чисел

#геометрия #задача

В неравностороннем треугольнике ABC I – центр вписанной, O – центр описанной окружностей. Прямая λ проходит через точку I перпендикулярно OI. Прямая, симметричная прямой BC относительно λ пересекает AB и AC а точках K и L. Докажите, что центр окружности AKL лежит на прямой OI.

#алгебра #задача

Дано натуральное число n. Приведённый многочлен степени 2n с целыми коэффициентами имеет (возможно, комплексный) корень кратности n, а также удовлетворяет условиям P(0)=-1 и P(1)*P(-1) ≠ 0. Найдите все такие многочлены.

#комбинаторика #задача

Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.