Победители олимпиад по математике ведут этот канал, делятся полезными материалами и информацией об олимпиадах по этому предмету, и постят интересный контент в этой сфере. Ютуб нашего проекта - https://youtube.com/@justscience2024
Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.
Пусть P(x), Q(x) — различные многочлены степени 2024 с ненулевыми вещественными коэффициентами. Предположим, что они имеют r общих вещественных корней (с учётом кратности) и s общих коэффициентов. Определите наибольшее возможное значение r+s.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.
Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.
В остроугольном треугольнике ABC отметили центр описанной окружности O и ортоцентр H. Перпендикуляр из H на AO пересекает BC в точке X. Перпендикуляр в X к BC вместе с прямыми AB и AC ограничивает треугольник Δ. Точка S — центр описанной окружности треугольника Δ. Докажите, что SX касается окружности (ABC).
Предлагаем вам сегодня задачу С.Л. Берлова, Д.В. Карпова с кубка Колмогорова 1999 года!
Не более 10% жителей государства Х — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин государства сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо со своей подписью, разоблачающее одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан. a) Известно, что у каждого гражданина этого государства менее 500 знакомых. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа. b) Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?
На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Биба и Боба берут их по очереди, начинает Биба. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Биба хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Боба пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Биба может достичь своей цели, как бы ни действовал Боба?
В треугольнике ABC угол C прямой, C_0 — основание высоты из C. На отрезке CC_0 выбрана произвольная точка X. Точки K и L на отрезках AX и BX соответственно выбраны так, что AL=AC, BK=BC. Точка M — пересечение отрезков AL и BK. Докажите, что MK=ML.
