Космологическая модель ΛCDM.

Современная космологическая модель ΛCDM (Lambda-Cold Dark Matter) основана на модели Фридмана с плоской геометрией, но отличается от модели Эйнштейна–де Ситтера тем, что Вселенная заполняется не одной, а сразу тремя идеальными жидкостями:

1. Излучение и релятивистское вещество (мюоны). Используется модель фотонного газа: ρᵣ ∝ a⁻⁴, Pᵣ = ⅓c²·ρᵣ

2. Обычная барионная и холодная тёмная материя, используется модель холодной пылевой материи: ρₘ ∝ a⁻³, Pₘ = 0

3. Тёмная энергия. Используется модель предложенная Эйнштейном, когда он добавил Λ-член в свое уравнение общей теории относительности. Эта энергия заполняет все пространство, имеет постоянную плотность и отрицательное давление: ρₗ = const, Pₗ = – c²·ρₗ

Суммарная плотность равна критической:
ρₜₒₜ = ρᵣ + ρₘ + ρₗ = ρₖᵣᵢₜ

Давление тоже суммируется:
Pₜₒₜ = Pᵣ + Pₘ + Pₗ = ⅓c²ρᵣ – c²ρₗ

Метрика пространства-времени и тензор энергии-импульса остается точно таким же, как и в модели Фридмана, только везде используются суммарные ρₜₒₜ и Pₜₒₜ. Уравнения Фридмана тоже сохраняют свой вид.

Также в модели ΛCDM задаются определенные доли этих жидкостей Ω, чтобы модель соответствовала реальным астрономическим наблюдениям. В соответствии с данными космической обсерватории Планк от 2018 года:
H₀ ≈ 67.4  км/с/Мпк
Ωᵣ = ρᵣ/ρₜₒₜ ≈ 10⁻⁴
Ωₘ = ρₘ/ρₜₒₜ ≈ 0.315
Ωₗ = ρₗ/ρₜₒₜ ≈ 0.685

В дальнейших расчетах мы будем пренебрегать Ωᵣ, так как она очень маленькая.

Из первого уравнения Фридмана можно вычислить функцию расширения Вселенной a(t):
H₀² = (ȧ/a)² = (8πG/3)·ρₖᵣᵢₜ = (8πG/3)·(ρₘ + ρₗ) = (8πG/3)ρₖᵣᵢₜ·(Ωₘ/a³ + Ωₗ)
(ȧ/a)² = H₀²·(Ωₘ/a³ + Ωₗ)
ȧ = H₀·a√(Ωₘ/a³ + Ωₗ)
da/(a√(Ωₘ/a³ + Ωₗ)) = H₀·dt
сделаем подстановку a = (Ωₘ/Ωₗ)^⅓·sinh^⅔(θ), тогда уравнение упрощается:
da/(a√(Ωₘ/a³ + Ωₗ)) = 2dθ/(3√Ωₗ) = H₀·dt
интегрируем и получаем:
θ = 1.5√Ωₗ·H₀·t

Отсюда:
a(t) = (Ωₘ/Ωₗ)^⅓ · sinh^⅔(1.5√Ωₗ·H₀·t)

Конечно, этот гиперболический синус выглядит не очень понятно для обычного человека. Но мы можем разбить его на два понятных отрезка времени:

1. При малых t, когда 1.5√Ωₗ·H₀·t ≪ 1, имеем sinh(x) ≈ x. Тогда a(t) ≈ (Ωₘ/Ωₗ)^⅓·(1.5√Ωₗ·H₀·t)^⅔, то есть a(t) ∝ t^⅔, как мы получали в модели Эйнштейна–де Ситтера. Это соответствует эпохе, где доминирует материя.

2. При больших t, когда 1.5√Ωₗ·H₀·t ≫ 1, sinh(x) ≈ ½eˣ. Тогда a(t) ≈(Ωₘ/Ωₗ)^⅓ · [½e^(1.5√Ωₗ·H₀·t)]^⅔, то есть a(t) ∝ e^(√Ωₗ·H₀·t), то есть наблюдается экспоненциальное расширение пространства. Это соответствует эпохе доминирования темной энергии.

Переход между этими эпохами происходит примерно в тот момент времени tₜ, когда плотности материи и темной энергии сравняются, то есть когда:
Ωₘ/a(tₜ)³ = Ωₗ ⟹ a(tₜ) = (Ωₘ/Ωₗ)^⅓

Подставляя это условие в выражение нашей функции a(t) находим:
tₜ = 2ln(1+√2)/(3√Ωₗ·H₀)

Подставим наши значения H₀ и Ωₗ и получим:
tₜ ≈ 10.3  млрд лет.

Таким образом, переход от степенного (материзаторного) расширения к экспоненциальному наступает примерно через 10.3 млрд лет после Большого взрыва.

Теперь вычислим время жизни Вселенной. Для этого просто запишем условие a(t₀) = 1, ведь масштабный коэффициент a нормируется именно таким образом, чтобы сейчас (в момент t₀) он равнялся 1:
1 = (Ωₘ/Ωₗ)^⅓ · sinh^⅔(1.5√Ωₗ·H₀·t₀)
Отсюда:
t₀ = 2·arsinh(√(Ωₗ/Ωₘ))/(3√Ωₗ·H₀)

Подставим наши значения H₀, Ωₗ, Ωₘ и получим возраст Вселенной:
t₀ ≈ 13.8 млрд лет.

#Космология@entropians