Кривизна пространства.

В общей теории относительности масса искривляет четырехмерное пространство-время. Когда масса распределена по пространству произвольным образом, то искривление может приобретать произвольную форму, которая задается тензором Римана в каждой точке пространства. Но если масса, а точнее энергия-импульс распределены по пространству равномерно, как гласит космологический принцип, то пространство имеет максимальную симметрию. Существует всего три типа максимально симметричных пространств:

1. k = -1 — гиперболическое пространство.
2. k = 0 — плоское (евклидово) пространство.
3. k = 1 — сферическое пространство.

Все, других вариантов быть не может. И других значений у k тоже. При этом само пространство может быть искривлено сильнее или слабее, но это уже учитывается в масштабном факторе a. Допустим, что кривизна положительная (k = 1) и пространство замкнутое. Тогда у треугольника может быть сумма углов от π до 3π (от 180° до 540°), эта сумма равна π + kΔ/a², где Δ — площадь треугольника. Таким образом k = 1 задает тип сферический кривизны, а ее радиус равен a. Чем a меньше, тем пространство сильнее искривлено.

Измерить кривизну нашего пространства можно как минимум двумя способами: по зависимости количества наблюдаемых галактик от расстояния и по измерению угловых масштабов акустических пиков в неоднородностях микроволнового фона (см картинку к посту). Самые точные на сегодняшний день измерения анизотропий микроволнового фона были проведены космической обсерваторией Планк в 2018 году, которая определила, что наше пространство является плоским с точностью 99.8% (Ωₖ = 0.0007±0.0019).

Первое уравнение Фридмана определяет зависимость относительной скорости расширения пространства от плотности и кривизны:

(ȧ/a)² = (8πG/3)ρ - kc²/a²

Из него следует, что пространство является плоским тогда и только тогда, когда средняя плотность материи-энергии равняется критической:

ρₖᵣᵢₜ = 3H²/(8π·G) = 3c²/(8πGRₕ²)

,где H = ȧ/a — параметр Хаббла, а Rₕ = с/H — радиус Хаббла. На расстоянии Rₕ само пространство "убегает" от нас со скоростью света, формируя горизонт событий (Хаббла), по аналогии с горизонтом событий у черной дыры.

Легко показать, что критическая плотность в точности равняется плотности черной дыры с радиусом Rₕ:

ρₕₒₗₑ = Mₕₒₗₑ / Vₕₒₗₑ = (c²Rₕ/(2G)) / ((4/3)πRₕ³) = 3c²/(8πGRₕ²) = ρₖᵣᵢₜ

Это "совпадение" является одним из доводов в пользу гипотезы космологии чёрной дыры, о которой мы поговорим в следующий раз.

#Теория@entropians
#Космология@entropians