Ботаем геому

Ночная разминка

Утренняя заминка

Дан треугольник ABC. На прямых AB, AC выбраны такие точки K и L соответственно, что AL = BL, AK = CK. Биссектрисы углов LBC и KCB пересекаются в точке Ja. Пусть O, I - центр (ABC) и инцентр треугольника ABC соответственно.
(!) Ja, O, I лежат на одной прямой

Следствие. Аналогично определим Jb, Jc. Тогда Ja, Jb, Jc коллинеарны (и лежат на OI). Отдельно это утверждение весьма нетривиально, и доказывается при помощи обобщенной теоремы Наполеона

Утренняя разминка

В четырёхугольнике ABCD ∠A = 90⁰, ∠B = 91⁰. Известно, что BC = AD. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке Х.
(!) ∠AXB = ?

(картинка в комментариях)

🗿🗿🗿

Во вписанном четырёхугольнике ABCD ∠A = 3∠B. На стороне AB отмечена точка X, а на стороне BC точка Y так, что CX = AY = AC.
(!) 3XY > BD

Разминка по матану

Весомая нить подвешена между двумя точками, находящимися на одной высоте относительно уровня земли.
Какую кривую огибает нить?

Еще одна задача, которую я обожаю. Она красивая, средняя по сложности и имеет просто миллиард самых разных решений, среди которых хочу отметить такое, на мой взгляд, самое изящное: повороты

В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС с наименьшей
стороной ВС отмечены ортоцентр Н и центр описанной окружности O. Окружность (АНС) пересекает отрезок АВ в точках А и Х, окружность (АНВ) пересекает отрезок АС в точках A и Y.
(!) Центр S окружности (XHY) лежит на прямой ОН

Добрая задача

BH = CR
(!) 2MN = AC

Раз уж речь зашла про инверсию, добавлю от себя задачку. Эта задача – обобщение задачи 8 с первого тура матбоев высшей лиги Колма прошлого года. Это обобщение я придумал на туре, во время решения. В исходной задаче точка L была основанием биссектрисы из угла A

Точка L лежит на биссектрисе угла A остроугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром AL пересекает AB, AC и (ABC) второй раз в точках E, F и D. Точки X, Y на меньших дугах AB, AC окружности (ABC) таковы, что AE = AF = AX = AY.
(!) DL, EX и FY пересекаются в одной точке

Инверсия

Небольшой гайд по инверсии для тех, кто с ней недостаточно знаком

Полезные факты:
1. Можно делать инверсию всей картинки целеком и доказывать новый факт, радиус не имеет значения. Примеры такого решения можно найти по ссылкам ниже.
2. Можно брать адекватный радиус и отмечать точки и их инверсные образы на одной картинке и получать про неё новую полезную информацию. Пример решения задачи таким образом.
3. При работе с длинами отрезков зачастую удобно делать инверсию всей картинки, а радиус брать за единичный.
4. При инверсии в вершине треугольника бывает удобно делать ещё и симметрию относительно биссектриссы угла, так как такое преобразование сохраняет ориентацию треугольников. То есть инверсия+симметрия в вершине В и R² = BA⋅BC переводит треугольник в себя (в смысле положения вершин относительно друг друга)
5. Зачастую полезно смотреть за углами между окружностями/прямыми, чтобы удобнее определить образ объекта при инверсии. Особенно это полезно в стереометрии.
6. При инверсии в ортоцентре Н треугольника АВС его вершины переходят в такие точки, что H – инцентр A'B'C'
7. Ссылки на хорошие видео про инверсию и листики (в том числе на инверсию в стереометрии) приклепил ниже.

Полезные материалы:
Видео про инверсию и инверсимметрию от matholymp
Стрим Ф.Л. Бахарева на тему инверсии

Листики:

Хорошая задача на хорошую идею. Я дурею от этой идеи...

Вписанная в четырехугольник ABCD окружность w касается его сторон BC и AD в точках E и F. Прямая ED вторично
пересекает w в точке X. Оказалось, что (FXD) касается AB и CD.
(!) Точки A, F, X, C лежат на одной окружности

Хочу дать подсказку по этой задаче. Никто пока не написал решения, и она очень даже сложная на мой взгляд.

Пусть ABC, DEF два треугольника. Тогда перпендикуляры, опущенные из A, B, C на FE, DF, DE пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры из D, E, F на BC, AC, AB пересекаются в одной точке. Этот факт известен как теорема Штейнера, доказывается через теорему Карно. В этом случае ABC, DEF называются ортологичными. Точка пересечения перпендикуляров из вершин A, B, C на стороны DEF называется центром ортологии треугольника ABC на DEF.

Подсказка. Докажите, что если At, Bt, Ct - тараканы в момент времени t, то для любого t треугольники ABC, AtBtCt ортологичны. После этого проследите за центром ортологии из ABC на AtBtCt.

Неожиданным образом здесь вылезает гипербола Фейербаха и ее асимптоты.