Разбор разминки, решение которой никто не оставил в комментариях

1) Пусть D – точка пересечения XZ и OY  (по условию она лежит на BC), E – точка пересечения OX и BC, L – точка пересечения AD и (ABC). Из инверсии относительно (ABC) получаем, что OD × OY = OA², то есть OA – касательная к (ADY), следовательно ∠AYO = ∠DAO = ∠DZO (из вписанности XOZY), тогда DZ = DA.
2) Из инверсии так же получаем, что четырёхугольник AOLY вписанный, значит ∠AYO = ∠ALO, откуда имеем вписанность четырёхугольника DOZL. То есть L – точка Микеля четырёхугольника XAOD, значит есть вписанность XDLY, откуда ∠XYD = ∠XLD, следовательно XL || AZ, значит XD = LD, откуда AL = XZ.
3) Продлим CX до пересечения с (ABC) в точке B'. Тогда так как ∠B'XE равен половине дуги OC, ∠EXB равен половине дуги OB, то эти углы равны, а так как OX содердит диаметр (ABC), то B'X = BX из симметрии.
4) Осталось показать равенство дуг AB' и CL. Они равны так как ∠OAC = ∠OCA и ∠OCX = ∠DAZ.