کانال ریاضی خوانی

توپولوژی عمومی، توپولوژی جبری نیست!

یکی از انتقاد هایی که احساس وظیفه می کنم در این جا درباره اش بنویسم نوع معرفی ای ست که اکثر اساتید عزیز از درس توپولوژی دارند. خیلی وقت پیش نیز یادداشتی می خواندم از یکی از توپولوژیست ها که از این شکایت می کرد که اکثرا تصور عموم از توپولوژی آن مفاهیمی ست که در توپولوژی جبری به آن ها بر می خوریم. در تمام کتاب هایی که برای عموم نوشته شده توپولوژیست ها افرادی هستند که فرق دونات با لیوانی که یک دسته دارد را نمی دانند. این معرفی ها جالب است و عموم مردم به دلیل ملموس بودن این نوع مفاهیم به آن ها علاقمند می شوند. در همین حال به نظر من یک اشتباه بزرگ در اکثر کلاس های توپولوژی عمومی رخ می دهد:
استاد درس معرفی درسش را با همین مفاهیم آغاز می کند در صورتی که تا جایی که می دانم در درس توپولوژی عمومی هم ارزی اصلی رابطه همئومورفیسم است نه هموتوپیک بودن فضا ها! به هر حال دانشجو با تصور اینکه بالاخره می فهمم چرا دونات با لیوان دسته دار یکی است درس را آغاز می کند و تا بخش زیادی از ترم می بیند به جای آن صرفا هر مفهومی که در آنالیز ریاضی دیده بود بدون متریک تعریف شده است. نصف دیگر ترم که درس قرار است جدی تر شود می بیند به جای محاسبه تعداد سوراخ های یک فضا، دارد دسته بندی های T1، T2 و نرمال بودن و... را می خواند و با سرگیجه و شک می گوید: این دسته بندی اصلا به چه کارم می آید. انگار دم بلال را رنگ کرده اند و به جای زعفران به او فروخته اند. در آخر هم یا وقت نمی شود یا خود دانشجو دیگر توانی ندارد که بفهمد آن دسته بندی ها قرار است به کجا ختم شوند و اصلا وقتی همه چیز را صرفا در فضاهای متریک هم داشتیم جز فضاهای عجیب و غریب که به هیچ کاری نمی آیند چرا باید متریک را برداریم و کارمان را سخت کنیم؟

به نظرم راه حل این مشکل صرفا این است که بپذیریم هدف توپولوژی عمومی به هیچ وجه رسیدن به مفاهیم توپولوژی جبری نیست. این درس را باید بیشتر به چشم یک زمین بزرگتر برای اهداف آنالیزی معرفی کنیم. نشان دهیم که وقتی متریک را از فضا حذف می کنیم و به جای آن ساختار توپولوژی را وارد می کنیم، خود این سوال که آیا می توانیم دوباره متریک را به فضا برگردانیم تا چه حد مسئله ی جدی و دشواری ست. شهودی از قضایای متریک پذیری را بیان کنیم و.... به جای آنکه از همان جلسه اول با دونات ها و سوراخ ها تصوری اشتباه از توپولوژی عمومی بدهیم. این نوع معرفی باعث بی فایده جلوه کردن خود این شاخه از ریاضیات می شود.

امیدوارم این یادداشت صرفا به عنوان یک انتقاد از زبان یک "دانشجو" خوانده شود. این استدلال که تجربه ی تدریس ندارم پس نباید از روش تدریس انتقاد کنم در این مورد چندان وارد نیست.

بالاخره یک نفر گفت!
واقعیت این است که تولید انبوه محتوای ریاضی کاملا با ذات خود این دانش-هنر بشری متناقض است و سوال اینکه چه دلیلی دارد درباره ریاضیات جدیدی که در محدوده تخصص و دانش خودمان نیست حرف بزنیم.
دلیل آنکه اینجا محتوایی درباره ی پیشرفت های جدید ریاضی دیده نمی شود هم همین است:
محتوا باید در قد و قواره ی دانش و تخصص محتواساز باشد.
لینک:
https://www.instagram.com/reel/DdWMVI6guBJ/?stkn=MmpnNTV4a3plczJ0

فعلا مشغول مطالعه ی کتابی درباره مکانیک کوانتوم هستم،
Lectures on quantum mechanics by L. D. Faddeev and O. A. Yakubovski

از دوستان خواستم که کتاب هایی معرفی کنند و آن ها هم لطف کردند و از این طریق سه یا چهار کتاب خوب به من معرفی شد که هر کدام نگاه خاص خودشان را دارد. در آخر هم این کتاب چیزی بود که خیلی قبل تر می خواستم خواندنش را شروع کنم اما یک زمانی درک درست برای خواندنش را نداشتم. حالا می توانم راحت تر بخوانمش و البته خیلی کند.(کند زیرا گاهی درباره ریاضیات بیشتر یا جزئیات تجربی کنجکاو می شوم و سعی می کنم به نوعی به این سوالاتم پاسخ دهم، حالا یا از طریق همین دوستان عزیزمان یا کتاب ها و مقالات)
هدفش بیشتر درس نامه ای در این موضوع برای دانشجویان ریاضیات است. بنابراین نوع ارائه مطالب با آنچه ذهنیت ریاضی متوسطی بپسندد هم راستا است.
#معرفی_کتاب

درباره تاریخچه ی این قضیه

در روز تولد کوشی این اثبات زیبا از قضیه کوشی که برخی آن را یکی از اولین نتیجه های نابدیهی نظریه گروه ها می نامند را ببینیم. گفته شده است که اثبات خود کوشی از این قضیه شکلی بسیار پیچیده تر داشت و شامل خطاهایی نیز می شد. به هر حال این برهان با این بیان یکی از '' معجزه های بنیادی'' در گروه ها به شمار می آید.

قضیه کوشی:اگر عدد اول p مرتبه ی یک گروه را عاد کند آنگاه عضوی از مرتبه ی p در آن گروه وجود دارد.

دندان درد پاسکال

در سال 1658 هنگامی که بلز پاسکال ریاضیات را به دلایل مذهبی کنار گذاشته بود، دندان درد شدیدی او را مجبور کرد تا برای تسکین درد به مسائل منحنی چرخ زاد بیاندیشد. او دندان درد را نشانه ای از سوی خدا دانست که گویا با کار ریاضی او مشکلی ندارد و هشت روز بعد رساله ای درباره منحنی چرخ زاد و مسائل مربوط به سطح، حجم حاصل از دوران و مرکز ثقل و سطح حاصل از دوران آن نوشت. سپس او یک مسابقه در این باره برگزار کرد تا ریاضیدانان دیگر را در این باره به چالش بکشاند. جان والیس و آنتوان دولالوور دو راه حل پیشنهادی ارائه کردند که توسط داوران ناکافی تشخیص داده شد و....

لایب نیتز بعدها با مطالعه ی آثار پاسکال و روش های او به ایده ی استفاده از یک مثلث بی نهایت کوچک بر می خورد و تصمیم می گیرد آن را با نمادگزاری دیفرانسیلی خودش جبری سازی کند.

https://youtu.be/G1yyfPShgqw?si=Q4621oSk0RdcumSr
سوال : چگونه از هشت ضلعی چندبره دو سوراخه بسازیم؟
این حکم را اکثرا در توپولوژی دیده ایم و به راحتی از آن گذشته ایم.

یک چالش در مطالعه ی کتب هندسه جبری این است که نمی توان به وضوح مشخص کرد موضوع به کجا می رود. کلی ایده و ابزار را یاد می گیری اما به سختی می توان فهمید که همه اینها درباره چیست. در کتاب هارتشورن یک بخش فرعی با عنوان '' هندسه جبری چیست؟" وجود داد. من آن را چندین بار فقط برای بدست آوردن حس جهت یابی خواندم.

کوچر بیرکار ، From fields to Fields

The Mirzakhani Issue


Comics&Science



⨋ @khalaghiatriazi ℵ

گمان کنم خوشبخت ترین کاشفان آن دسته از افراد بودند که ارزش یک ایده ی ساده را درک کردند و مانند دیوانه ای به آن چسبیدند تا پرسشی بزرگ را پاسخ دهند. پوانکاره ای که با کلاس های هم ارزی دور ها در یک فضا گروه بنیادین را ابداع کرد یا اینشتینی که با سوار شدن بر پرتوی نور در ذهنش به نسبی بودن زمان پی برد. این ها دو نمونه از آن نوع کشف هایی است که مد نظرم است؛ ایده ای ساده و نتیجه ای بزرگ.
به نظر می رسد این شکل خاص از کشف علمی یک نوع '' کودکی ذهنی'' را می طلبد که متاسفانه اکثر ما از جایی به بعد آن را از دست می دهیم. در واقع بسیاری از ما پس از رسیدن به مرحله ای از بلوغ علمی دیگر نمی توانیم به پشت سرمان نگاه کنیم. ذهنمان مشغول ساختار قدرت، دوستان از دست رفته، شغل، خانواده، هزینه و... می شود و این همان جایی است که ذهن کودکانه از دست می رود. دیگر نمی توانیم به ایده ای ساده بچسبیم و دیگر صبر کافی نداریم آن را پرورش دهیم. به جایش به دنبال خواندن و فقط خواندن، جواب پس دادن به امتحان و... می دویم چون این ها برایمان قدرت می آورند. چسبیدن به ایده ای کودکانه اگر جواب دهد خوب است اما از آنجا که به احتمال زیاد به جایی نمی رسد احتمالا تمام آینده مان را سیاه کند.

حالا خودم را می بینم که با عینکی لکه دار شده به جهان اطرافم نگاه می کنم. لکه دار از تمام سیاهی های زندگی واقعی و لکه دار از نظریات پیچیده ی دیگران. چگونه می توان بدون این عینک به جهان نگاه کرد و ترس از گم شدن نداشت؟

#درونیات

#fun

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/intrinsic_volumes_for_riemanni.html
اینجا هم برای توضیح به زبان ساده تر

مسئله : فرض کنید یک زیر منیفلد بسته m بعدی را در فضای n بعدی اقلیدسی نشانده ایم. چه رابطه ای بین شعاع یک همسایگی به اندازه کافی کوچک آن و حجم این همسایگی وجود دارد؟
مسئله ساده است و راه حل دور از انتظاری ندارد. با این حال نتیجه فرمولی است که در آن پارامترهایی وجود دارند که تنها وابسته به هندسه ی داخلی منیفلد هستند نه به چگونگی نشاندن آن در فضای بیرونی.

درباره ی جدایی کامل فلسفه از ریاضی می گوید: تقصیر فیلسوفان است و ریاضیدانان به دلیل مشغله ی فکری به مسائلی بسیار دشوار در این باره تقصیری ندارند. جدا از آن بسیاری از آن ها شخصیت هایی غریب دارند که مثال پرلمان و گالوا و گروتندیک را می آورد.
از نگاه او یک نوع نیکبختی حقیقی در فهم ریاضیات را می توان تجربه کرد. او به زیبایی مثالی از اثبات قضیه کانتور می آورد که با فرض اینکه تعداد زیر مجموعه ها با اعضا برابر باشد به تناقض می رسد.
همچنین فیلسوفان نو را به دلیل جهالت بسیار زیادشان از موضوعات ریاضی سرزنش می کند. می گوید:
شان فلسفه به سبب سیمای کم مایه و ارتجاعی فیلسوف جدید، بی اندازه خوار و کم مایه شده است. باید گفت که سوپر استارهای فلسفی رسانه ای با آن همه سخنرانی های جور واجور و رنگارنگ و با توجه به اندک دانشی که درباره ی موضوعات دهان پر کن دارند ابلهانی بیش نیستند. این ها در ریاضیات شاید دانش آموزان دبیرستانی خیلی معمولی هم حساب نشوند. از قضا همین نکته فضیلت ریاضیات است: هرگز نمی توان چنین موجودات متقلبی در ریاضیات یافت.

این مصاحبه ای از یک فیلسوف فرانسوی به اسم آلن بدیو است. من همیشه به موضوعات فلسفی علاقه دارم اما در برخورد با بخشی از آن ها تعریفی از فلسفه به ذهنم رسید: فلسفه مجموعه ای از کلمات است که انسانی که بخواهد ماهیت ناشناخته ای را بشناسد اما در یادگیری ریاضیات ناتوان باشد بر زبان می آورد! بنابراین من تصورم از فیلسوف کسی بود که می خواهد جهان را بشناسد اما نتوانسته است زبان آن را یاد بگیرد.
این مصاحبه را خواندم و فهمیدم هنوز فیلسوف هایی هستند که ریاضی بدانند و درست یا غلط آن را به فلسفه ربط دهند. حداقل به ریاضیات با دیده ی احترام می نگرند.

ble.ir/join/5UW3t4pSoA
گروه در بله برای تبادل فایل و سایر اطلاعات ریاضیاتی.

تریستان نیدهام نیز یکی از آن نویسنده های ریاضی ست که هیچوقت نشده صفحه ای از کتابش را ببینم و خمیازه بکشم.
(اگر بخواهید بدانید نویسندگان دیگر چه کسانی اند: هارولد ام ادواردز شهود گرا و ولادیمیر آرنولد و تمام ریاضیدان های قبل از قرن بیستم :) )
دوست راجر پنروز و یکی از آن آدم هایی که دوست دارد مخاطبانش ریاضی را حس کنند نه حفظ!
خیلی ها او را به Visual complex analysis او می شناسند اما این کتاب جدید تر ادامه ای بر آن سبک منحصر به فردش است که طی گذشت سال ها پخته تر نیز شده ست. او خود را از مروجان روش هندسی نیوتن در حسابان می داند.
کتاب با این جمله شروع می شود:
هندسه ی دیفرانسیل شامل واژه ی هندسه است! شکایتی از اینکه بسیاری این واقعیت ساده را در کتاب هایشان یا کلاس هایشان نادیده می گیرند و به جای آن دسته ای معادلات با اندیس هایی که مدام بالا و پایین می روند به آموزندگان تحویل می دهند.
#معرفی_کتاب

و وجود داشت.