توپولوژی عمومی، توپولوژی جبری نیست!

یکی از انتقاد هایی که احساس وظیفه می کنم در این جا درباره اش بنویسم نوع معرفی ای ست که اکثر اساتید عزیز از درس توپولوژی دارند. خیلی وقت پیش نیز یادداشتی می خواندم از یکی از توپولوژیست ها که از این شکایت می کرد که اکثرا تصور عموم از توپولوژی آن مفاهیمی ست که در توپولوژی جبری به آن ها بر می خوریم. در تمام کتاب هایی که برای عموم نوشته شده توپولوژیست ها افرادی هستند که فرق دونات با لیوانی که یک دسته دارد را نمی دانند. این معرفی ها جالب است و عموم مردم به دلیل ملموس بودن این نوع مفاهیم به آن ها علاقمند می شوند. در همین حال به نظر من یک اشتباه بزرگ در اکثر کلاس های توپولوژی عمومی رخ می دهد:
استاد درس معرفی درسش را با همین مفاهیم آغاز می کند در صورتی که تا جایی که می دانم در درس توپولوژی عمومی هم ارزی اصلی رابطه همئومورفیسم است نه هموتوپیک بودن فضا ها! به هر حال دانشجو با تصور اینکه بالاخره می فهمم چرا دونات با لیوان دسته دار یکی است درس را آغاز می کند و تا بخش زیادی از ترم می بیند به جای آن صرفا هر مفهومی که در آنالیز ریاضی دیده بود بدون متریک تعریف شده است. نصف دیگر ترم که درس قرار است جدی تر شود می بیند به جای محاسبه تعداد سوراخ های یک فضا، دارد دسته بندی های T1، T2 و نرمال بودن و... را می خواند و با سرگیجه و شک می گوید: این دسته بندی اصلا به چه کارم می آید. انگار دم بلال را رنگ کرده اند و به جای زعفران به او فروخته اند. در آخر هم یا وقت نمی شود یا خود دانشجو دیگر توانی ندارد که بفهمد آن دسته بندی ها قرار است به کجا ختم شوند و اصلا وقتی همه چیز را صرفا در فضاهای متریک هم داشتیم جز فضاهای عجیب و غریب که به هیچ کاری نمی آیند چرا باید متریک را برداریم و کارمان را سخت کنیم؟

به نظرم راه حل این مشکل صرفا این است که بپذیریم هدف توپولوژی عمومی به هیچ وجه رسیدن به مفاهیم توپولوژی جبری نیست. این درس را باید بیشتر به چشم یک زمین بزرگتر برای اهداف آنالیزی معرفی کنیم. نشان دهیم که وقتی متریک را از فضا حذف می کنیم و به جای آن ساختار توپولوژی را وارد می کنیم، خود این سوال که آیا می توانیم دوباره متریک را به فضا برگردانیم تا چه حد مسئله ی جدی و دشواری ست. شهودی از قضایای متریک پذیری را بیان کنیم و.... به جای آنکه از همان جلسه اول با دونات ها و سوراخ ها تصوری اشتباه از توپولوژی عمومی بدهیم. این نوع معرفی باعث بی فایده جلوه کردن خود این شاخه از ریاضیات می شود.

امیدوارم این یادداشت صرفا به عنوان یک انتقاد از زبان یک "دانشجو" خوانده شود. این استدلال که تجربه ی تدریس ندارم پس نباید از روش تدریس انتقاد کنم در این مورد چندان وارد نیست.