Зачем мне эта математика

Привет!
Мы в Практикуме проводим исследование в области обучения анализу данных.

Если вы хотите освоить профессию аналитика данных или уже запланировали обучение, приглашаем принять участие в интервью! Оно пройдёт в зуме и займёт около 30-40 минут.

Для участия, пожалуйста, заполните форму. Мы свяжемся с вами и подберём удобное время. В благодарность за участие подарим промокод на Яндекс Плюс или электронные книги МИФа.

Сегодня покайфуем с листов А4.

Классное свойство
Если сложить лист пополам, то соотношение сторон сохранится. Длины сторон А4 относятся так же, как длины сторон А5 или А6 и так далее.

Это отношение выражается иррациональным числом — длинная сторона всегда в √2 раз больше короткой. Оно даже имеет имя — соотношение Лихтенберга.

Польза
Его предложил ещё в 1786 году немецкий учёный Георг Кристоф Лихтенберг. С конца 18 века листы такого формата стали применять во Франции. Сейчас формат распространён по всему миру, кроме США и Канады.

Подобные листы удобны тем, что изображение легко перенести/распечатать на любые размеры. Если есть картинка формата А0, то она легко масштабируется и на А1, и на А8. Пропорции сохранятся и ничего нигде не поедет. Типография в восторге!

Почему √2
Пойдём с конца: пусть мы хотим, чтобы сгибание листа не меняло его пропорций — какие тогда нужны параметры листа?

Пусть длина короткой стороны равна x, а длинной — y. При сгибании пополам уже длинная сторона будет равна x, а короткая — 0.5y. Факт неизменности соотношения запишем как пропорцию:
y : x = x : 0.5y.

Применим основное свойство пропорции и получим: 0.5y² = x².
То есть y² = 2x², откуда y = √2⋅x (отриц. корень здесь не имеет физического смысла).

Значит, если нам нужен лист, у которого при складывании сохраняются пропорции, то одна его сторона должна быть в √2 длиннее другой.

Почему именно 210x297 мм
Почему бы вместо 297 не взять 300? Хоть одна сторона была бы красивой длины. :)
Дело в том, что А4 хоть и самый распространённый сейчас формат, но началось всё с А0.

Площадь листа А0 — ровно 1 кв. метр. И уже для этой площади вычисляли нужные длины сторон.
Смотрите: x√2⋅x=1.
Отсюда x≈0.841 м — длина меньшей стороны листа А0. А большей — 1.189 м.

Размеры остальных листов получились делением пополам А0 и далее.
Поделим стороны на 4 — получим размеры формата А4:
841:4≈210 мм — меньшая сторона;
1189:4≈297  мм — большая сторона.
Как раз фактические размеры!

Ну что за кайф этот лист А4 — всё в нём красиво и продуманно!

Поступающим в Школу анализа данных

Вы наверняка слышали про ШАД — это интенсивная двухгодичная программа с передовыми знаниями по ML, системам хранения/ обработки больших данных и анализу данных.

Один из треков поступления называется «альтернативным» — он подходит для специалистов с опытом в анализе данных и аспирантов.

Что проверяют на вступительном экзамене

По информации с сайта школы, при поступлении проверяют:
- знания в рамках общей программы: базовые разделы высшей алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории вероятностей,
- умение программировать.

Один из способов подготовиться

Подтянуть математику можно на нашем курсе «Математика для анализа данных». Например, наши выпускники могут решить большинство заданий из экзамена прошлых лет.

Кроме того, на курсе вы сможете освоить Python и разобраться, как решать задачи аналитика данных с помощью этого языка программирования.

Когда начать подготовку

Экзамены в ШАД начинаются весной. Обучение на курсе «Математика для анализа данных» занимает около 6 месяцев. Если начать сейчас, вы обстоятельно и спокойно успеете подготовиться к поступлению в 2025 году.

Ближайшие когорты стартуют 23 и 30 мая. Приходите, ждём вас!

➡️«Математика для анализа данных»

Вообще математика — наука довольно строгая и упорядоченная, но и в ней есть место небольшому хаосу. А конкретно — беспорядкам. 😜

Что это
Беспорядком длины n называется любая перестановка множества {1, 2, …, n}, у которой ни один элемент не стоит на своём месте.
То есть 1 не стоит на первой позиции, 2 не стоит на второй, 3 — на третьей и т. д.

Пример
Для множества {1, 2, 3} беспорядками будут 312 и 231. А вот 321 — не беспорядок, ведь число 2 сохранило своё место!

Количество беспорядков
Число всех беспорядков длины n обозначают через !n. Читается как «субфакториал». Очень похоже на обозначение факториала, только восклицательный знак стоит с другой стороны (даже тут хаос!)

Если в множестве два элемента, беспорядок будет всего один — это 21. Значит, !2=1.
Для множества из трёх элементов беспорядков будет !3=2 штуки — это 231 и 312.

Как посчитать количество беспорядков
Простой способ — выписать все возможные перестановки и выбрать из них беспорядки. Это удобно для маленьких множеств. Но для больших множеств перестановок становится многовато. Например, для множества из 6 элементов их уже 720 — не очень хочется столько перебирать!

Облегчит жизнь рекуррентная формула — она позволяет вычислить число беспорядков, опираясь на два предыдущих значения. Для !4 понадобятся !3 и !2, для !5 — !4 и !3, для !6 — !5 и !4 и так далее.

В общем виде рекуррентная формула для количества беспорядков выглядит так:
!n = (n-1)⋅(!(n-1) + !(n-2))

Почему и как это работает — можно увидеть на интерактивной иллюстрации из нашего бесплатного тренажёра. Она показывает, как вычислить !4, для общего вида логика будет такая же.

Задачи с беспорядками
➡️ Вчерашняя задача о династических браках — как раз о беспорядках! Невеста и жених должны быть из разных домов — разумное жизненное требование, а с точки зрения математики — беспорядок! Решение этой задачи мы положили в комментарии ко вчерашнему посту.
➡️ Задача о перепутанных телефонах
➡️ Задача про Тайного Санту

А в каких ещё ситуациях вам встречались беспорядки?

Задача о династических браках 👑

В каждом из 5 великих домов есть сын и дочь. Любое семейство хочет породниться с одним или двумя другими.

1️⃣ Сколько существует способов всех переженить?
2️⃣ Тирион и Серсея отказываются от участия в брачной гонке, дом Ланнистеров выбывает! Главы остальных домов подумали и решили, что всем выгоднее породниться с как можно большим количеством других семей.
Сколько теперь есть способов переженить 8 персонажей?

Ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Функции и шашлык

Показываем отличия основных видов функций на шашлыках. Ведь это именно та математика, которая так нужна на майских праздниках. 😋

Представьте, что вы выезжаете за город на шашлыки компанией из х человек. Сколько кусков мяса будет съедено? Зависит от ситуации.

Простой случай
Предположим, каждый съест по 2 куска и ещё 3 съедят разные люди в качестве добавки. Итого y=2x+3 кусков. Это линейная функция.

За компанию вкуснее
Часто бывает, что чем больше компания, тем дольше длится застолье и тем больше все в итоге съедают. Например, один человек съел бы 1 кусок, двое – уже по 2, трое — по 3 и так далее.

Такую ситуацию описывает функция y=х², она называется квадратичной. Здесь 10 человек съедят 100 кусков, что ж, бывает. 🙃

Шашлык оказался не очень
Если шашлык оказался не очень — есть его будут без энтузиазма. Да, чем больше людей, тем больше кусков съедят, но каждый новый человек не сильно меняет ситуацию.

Например, 4 человека съедят 2 куска, 8 человек — 3, а чтобы съесть 4 куска понадобится целых 16 человек. Это функция y=log₂х. Такая функция называется логарифмической, и её отличительная особенность как раз в том, что она растёт, но медленно.

Шашлычное безумие
Добавим немножко фантастики, эдакий шашлыко-апокалипсис. По графику последняя функция как будто не сильно отличается от квадратичной, но, поверьте, это только поначалу.

Один человек съел 2 куска и разрекламировал следующему, поэтому тот тоже съел 2. Третьему нахваливали шашлык уже двое и он так впечатлился, что съел 4 куска. Четвёртый — вообще 8. Такими темпами десятый съест 512 кусков (не спрашивайте, как!) и конца этому не видно…

Все вместе съедят
y=2+2+4+8+…+2ᕽ⁻¹=2ᕽ
кусков мяса. Функция y=аᕽ называется показательной, при а>1 она быстро разгоняется и улетает в космос.
—————————

А какой вариант развития шашлычных посиделок случился с вами в последний раз? 😁

Решение задачи про чемодан

В пятницу мы опубликовали задачу. Спасибо за отклик и комментарии!

Разберём, как её можно решить. Напомним, нужно было найти максимальный объём чемодана, который поместится в чехол заданного размера.

Найдём максимальные параметры чехла

Исходные параметры — 60х45 см.
Добавим по 10% за счёт растяжения ткани — получим 60*1.1=66 и 45*1.1=49.5 см. На такие высоту и ширину можно растянуть чехол.

Определимся со сторонами чемодана

По условию задачи высота чехла «покрывает» только высоту чемодана. Мы ищем максимальный объём чемодана, так что и длину возьмём наибольшую — 66 см.
Ширина чехла «покрывает» два измерения: ширину и глубину. Какие соотношения сторон дадут наибольший объём — неизвестно. Значит, введём переменные!

Пусть ширина чемодана равна х, тогда глубина будет 49.5-х.
Значит, объём чемодана равен V=66•х•(49.5-x).

Способы найти максимум

Получилась квадратичная функция. Узнать, где она будет наибольшей, можно разными способами:

• Вычислить производную и приравнять её к нулю, чтобы найти экстремум.

• Найти вершину параболы. Здесь при раскрытии скобок в функции коэффициент при х² будет отрицательным. Поэтому график — парабола с ветвями вниз, в её вершине функция как раз максимальна.

Посчитаем через вершину

Парабола симметрична, и вершина находится строго между нулями функции. Функция V=66•х•(49.5-x) записана в виде произведения.

Она обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Значит, нули функции — 0 и 49.5.
Вершина посередине, значит, это число 24.75.

Число получилось нецелое, а у нас есть условие на целые длины сторон чемодана. Значит, либо x=24 и тогда вторая сторона равна 25 см, либо наоборот.

В обоих случаях объём будет V = 66•24•25 = 39 600 см³. В литрах это 39.6, округляем вниз — 39 литров.

Не очень-то большой в итоге чемодан 😅
Вам бы его хватило?

Между праздниками несём вам 🧳 туристическую задачку!

Арина шьет и продает чехлы для чемоданов.
Сегодня сшила такой: высота 60см, ширина 45. Ткань чехла тянется: на 10% вверх и на столько же вбок. Форма чехла такова, что закрывает только боковые стороны чемодана.

Но чехол плоский, а чемодан трёхмерный! Поэтому когда надеваешь его на чемодан — ширины должно хватить на два измерения: ширину и глубину.

Каким будет максимальный объём чемодана с целыми сторонами? Ответ округлите вниз до целых литров.

Ждём ваши ответы в комментариях под скрытым текстом.
Решение опубликуем в понедельник.

Математика в Футураме

По сюжету главный герой, Фрай, случайно был заморожен в криогенной камере на 1000 лет. И вот он идёт проверять свой счёт в банке.
До заморозки там лежали скромные 93 цента под 2.25% годовых. Сотрудница банка сообщает, что сейчас на его счету… 4.3 миллиарда долларов. 😅

Но это же просто мультик, вряд ли там корректные вычисления. Или нет? Проверим!

Разберёмся с терминами
Счёт Фрая был с капитализацией. Это распространённый случай, когда сумму на счету вычисляют по формуле сложного процента.

Есть расчётный период — обычно это год, но может быть месяц или день. Закончился расчётный период — начисленные деньги добавляются к сумме вклада, и дальше проценты начисляются на возросшую сумму. И так каждый раз!

Считаем
Формула для расчёта итоговой суммы в общем виде выглядит так:
Sₙ = S⋅(1+ p/100)ⁿ,
где n — это количество лет,
p — процентная ставка.

Подставим числа:
S₁₀₀₀ = 0.93⋅(1+ 2.25/100)¹⁰⁰⁰ = 0.93⋅1.0225¹⁰⁰⁰ ≈ 4 283 508 450.

Переведём в миллиарды и округлим до десятых — получим 4.3 миллиарда. Именно эту сумму и назвала сотрудница банка в мультфильме! Немного неправдоподобно, что банк округляет вверх, но опустим эту деталь. :)

Мы очень обрадовались корректным математическим расчётам в мультфильме. Как будто давнишнего знакомого случайно встретили на улице — не ожидали, но приятно. ☺️

Объясним происходящее
Сумма на счету здесь описывается показательной функцией y=k•aᕽ. Её основание a=1.0225, это больше 1, а значит, функция — возрастающая. Поэтому чем больше x, тем больше будет ответ. Показатель 1000 даёт впечатляющие результаты.

Подробный урок про банковские проценты есть в нашем бесплатном тренажёре в модуле «Дроби», тема «Проценты».
А научиться исследовать поведение функций можно в платном курсе «Математика для анализа данных».

Медиана в статистике

Когда нужно проанализировать набор чисел, удобно описать весь набор каким-то одним числом. Самый простой способ — рассчитать среднее. Но оно подходит не для всех ситуаций.
Например, за гордыми рассуждениями о росте средней зарплаты не всегда скрывается рост зарплаты большинства сотрудников. Объективно оценить картину помогает ещё одна статистическая характеристика — медиана.

Подробнее о ней — на карточках.

Пост о среднем.

Бывает, идёте вы по улице, видите большое здание и думаете: «О, про него можно сделать математическую задачу!»
Знакомо? Авторам нашего канала — да, с нами это происходит постоянно. 😁

Что из этого вышло — смотрите в видео.
Ответы на вопросы, как обычно, присылайте под скрытым текстом.