Сегодня покайфуем с листов А4.

Классное свойство
Если сложить лист пополам, то соотношение сторон сохранится. Длины сторон А4 относятся так же, как длины сторон А5 или А6 и так далее.

Это отношение выражается иррациональным числом — длинная сторона всегда в √2 раз больше короткой. Оно даже имеет имя — соотношение Лихтенберга.

Польза
Его предложил ещё в 1786 году немецкий учёный Георг Кристоф Лихтенберг. С конца 18 века листы такого формата стали применять во Франции. Сейчас формат распространён по всему миру, кроме США и Канады.

Подобные листы удобны тем, что изображение легко перенести/распечатать на любые размеры. Если есть картинка формата А0, то она легко масштабируется и на А1, и на А8. Пропорции сохранятся и ничего нигде не поедет. Типография в восторге!

Почему √2
Пойдём с конца: пусть мы хотим, чтобы сгибание листа не меняло его пропорций — какие тогда нужны параметры листа?

Пусть длина короткой стороны равна x, а длинной — y. При сгибании пополам уже длинная сторона будет равна x, а короткая — 0.5y. Факт неизменности соотношения запишем как пропорцию:
y : x = x : 0.5y.

Применим основное свойство пропорции и получим: 0.5y² = x².
То есть y² = 2x², откуда y = √2⋅x (отриц. корень здесь не имеет физического смысла).

Значит, если нам нужен лист, у которого при складывании сохраняются пропорции, то одна его сторона должна быть в √2 длиннее другой.

Почему именно 210x297 мм
Почему бы вместо 297 не взять 300? Хоть одна сторона была бы красивой длины. :)
Дело в том, что А4 хоть и самый распространённый сейчас формат, но началось всё с А0.

Площадь листа А0 — ровно 1 кв. метр. И уже для этой площади вычисляли нужные длины сторон.
Смотрите: x√2⋅x=1.
Отсюда x≈0.841 м — длина меньшей стороны листа А0. А большей — 1.189 м.

Размеры остальных листов получились делением пополам А0 и далее.
Поделим стороны на 4 — получим размеры формата А4:
841:4≈210 мм — меньшая сторона;
1189:4≈297  мм — большая сторона.
Как раз фактические размеры!

Ну что за кайф этот лист А4 — всё в нём красиво и продуманно!