На 25-ой минуте видео Пенроуз дает чрезвычайно любопытную интерпретацию знаменитой теоремы Гёделя о «неполноте», которую в популярной форме чаще всего излагают в виде народной мудрости «не все так однозначно». Понятно, что Гёдель – это не вещая бабка или диванный мудрец, чтобы разбрасываться подобного рода тривиальностями на все случаи жизни. Речь идет о чем-то весьма специфичном. И Пенроуз говорит, о чем именно: о разнице между следованием закону и его пониманием.

Доказательство теоремы Гёделя не отличается изяществом или очевидностью. Больше всего оно напоминает грязный трюк или хитрость. В чем суть: сначала Гёдель утверждает, что любую непротиворечивую формальную систему можно перевести на особый язык, состоящий только из натуральных чисел и утверждений о них («нумерация Гёделя»). Затем он демонстрирует, что с помощью этого особого языка, состоящего только из натуральных чисел и утверждений о них (а утверждение в логике – это то, что либо истинно, либо ложно), можно составить такое утверждение, которое было бы истинным, но при этом недоказуемым – что и будет свидетельством «неполноты» исходной системы.

Ок. Но какое это отношение имеет к основаниям математики? Почему это вообще важно?

Дело в том, что, сводя любую формальную систему к утверждениям о числах, Гёдель по сути сводит основания математики к арифметике Пеано. Что такое арифметика Пеано? Это способ выражения свойств натуральных чисел через ограниченный набор непротиворечивых правил («аксиом Пеано»), «теория исчисления». «Нумерация Гёделя» выполняет концептуально противоположную функцию перевода любых логических утверждений в натуральные числа, «исчисление теории». Другими словами, Гёдель взаимно отождествляет друг с другом понятия логики и счета, позволяя воспринимать «математику» не как статичный набор истин, а как процесс вычисления («доказательства»), т.е. работы машины, которая, следуя непротиворечивому, последовательному алгоритму (арифметическим законам), «выводит» (вычисляет) одни истинные «утверждения» (числа) из других.

Так вот, весь смысл «теоремы Гёделя о неполноте» заключается в том, что невозможно, пользуясь непротиворечивым, последовательным алгоритмом (т.е. включив вычислительную машину), «доказать» (вычислить) истинное утверждение со смыслом «это утверждение нельзя доказать» – при условии, что законы арифметики непротиворечивы (а они не противоречивы). Ибо если это утверждение можно доказать, то значит оно ложно.

В рамках господствующей мета-физики математики (мета-математики?) этот арифметический аналог «парадокса лжеца» принято толковать в сугубо негативном ключе, буквально «все пропало», «мир непознаваем», «истины не существует» и т.д. Но ведь теорема Гёделя как раз об обратном – и Пенроуз на этом настаивает. Истин, как говорится, жопой жуй. Сколько непротиворечивых формальных систем – столько и истин (даже больше). Но знание об истинности того или иного утверждения не дает понимания этого утверждения. Почему это утверждение истинно? Как так вышло? Как можно логически дойти до истинного утверждения «до этого утверждения нельзя дойти»?

Машина не может знать, так как она просто следует приказам, а не понимает их. Человек, в целом, тоже (не будем питать иллюзий). Но он по крайней мере в состоянии выбирать, по каким абстрактным, умозрительным законам он будет жить, какому безальтернативному господину подчиняться (непротиворечивые формальные системы не являются полными). В этом смысле люди, в отличие от чистого разума, обладают моральной ответственностью – той самой, о которой говорил Кант.