TGViewer
Channel Public Channel
Математические байки

Математические байки

@mathtabletalks

Рассказы про разную математику.

Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Open in Telegram
Subscribers
4.3K
Photos
1.5K
Videos
15
Links
941

Showing posts older than #4036 · Back to latest

Older Posts 20 shown
Post #4035 1.25K

Forwarded from Непрерывное математическое образование

https://arzamas.academy/mag/1051-math

«Как получилось, что в 1950–60-е годы механико-математический факультет МГУ стал удивительным свободным местом, где, несмотря на противодействие советской власти, работали величайшие ученые мирового уровня? Ученики Колмогорова, Успенского, Арнольда, Манина и других математиков рассказывают о золотом веке мехмата»

новый материал Арзамаса — рассказывают Ильяшенко, Ландо, Сосинский, Тихомиров, Цфасман, Шень и другие
Post #4032 1.93K
А за доказательство спасибо Г. Мерзону — можно воспользоваться тем, что
1/sin(2x) = ctg(x) - ctg(2x),
после чего в правой части получается телескопическая сумма.

Ну и можно либо её свернуть в ctg(x)-ctg(2^{n-1} x) и доразобрать получившееся тождество уже без большой суммы — либо заметить, что перенеся 1/sin(x) с минусом тоже в правую часть, мы получим
-1/sin(x) = 1/sin(π+x) = 1/sin(2^n x),
так что в итоге получаем
ctg(x)-ctg(2^n x) = ctg(x)-ctg(x+π) =0.
Post #4031 1.69K
1/sin(π/31) = 1/sin(2π/31) + 1/sin(4π/31) + 1/sin(8π/31) + 1/sin(16π/31),
и так далее.
А в пределе, когда x=π/(2^n-1) — очень-очень маленький угол, получаем формулу для суммы геометрической прогрессии: после умножения на x остаётся
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... .
Собственно, в этом исходно и была ассоциация: рассуждение для маяков восстанавливает формулу для обратных квадратов через точное равенство для окружности с конечным числом маяков, переходя к пределу по числу маяков. Тут же была формула для 3 удвоений и было видно, что предел (геометрическая прогрессия) тоже правильный — резонно было посмотреть, не будет ли справедливо и то, что посередине.
Post #4030 1.52K
Геометрия-канал давайте попробуем восстановить традицию не только задач, но и решений в этом канале? для разминки: два решения задачи выше можно узнать из ролика https://youtu.be/1N-doa1KZeE
Увидел у коллег задачу выше про треугольник с углами π/7, 2π/7, 4π/7 — то есть (применяя теорему синусов) про тождество
1/sin(π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(4π/7).

И по (не совсем прямой) ассоциации с доказательством для суммы обратных квадратов через маяки подумал: вот угол π/7 характерен тем, что после трёх удвоений мы получаем его же, увеличенного на π. А если удвоений будет 4? 5?

И таки да —
1/sin(π/15) = 1/sin(2π/15) + 1/sin(4π/15) + 1/sin(8π/15)
Post #4029 1.3K

Forwarded from Геометрия-канал (Grigory M)

давайте попробуем восстановить традицию не только задач, но и решений в этом канале?

для разминки: два решения задачи выше можно узнать из ролика https://youtu.be/1N-doa1KZeE
YouTube Задача № 852 из учебника Атанасяна Решаем задачу №852 из учебника Атанасяна двумя способами: (1) через теорему синусов и тригонометрию; (2) через достраивание треугольника до правильного семиугольника.
Post #4027 2.2K

Forwarded from N + 1

По традиции ведем онлайн-репортаж с лекции, посвященной берестяным грамотам, найденным археологами в этом сезоне. Подключайтесь:

https://nplus1.ru/blog/2021/11/22/birchbark21
nplus1.ru Онлайн: берестяные грамоты 2021 года Редакция N + 1 вела онлайн-репортаж с традиционной лекции, посвященной берестяным грамотам, найденным археологами в этом сезоне. О том, что в этому году удалось прочитать на бересте, рассказывал член-корреспондент РАН Алексей Гиппиус.
Post #4026 1.77K
N+1 ведёт онлайн:
Post #4025 2.24K
Мини-оффтопик: меньше, через минуту, начинается лекция А. А. Гиппиуса про берестяные грамоты —
https://philology.hse.ru/announcements/526684189.html
(кажется, тут идёт трансляция — https://www.youtube.com/watch?v=_1jZkmKSbwo ).

А если вы ни разу не видели лекции А. А. Зализняка — то вот тут (http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?eventID=46&option_lang=rus#PRELIST46 ) есть их видеозаписи; в том числе — вот (http://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?eventID=46&confid=151&option_lang=rus&if_videolibrary=1 ) подраздел с лекциями о берестяных грамотах. И очень, очень, очень советую.
philology.hse.ru Лекция А.А. Гиппиуса: «Берестяные грамоты из раскопок 2021 г.»
Post #4023 1.78K
Вау! Поздравляю коллег!!!
Post #4022 2.62K
Математические этюды https://www.instagram.com/p/CVGiBh-rGlo/ Разоблачение магии из предыдущего выпуска будет не сразу, сначала в рубрике рисунков М.Панова задача: Дана парабола, её фокус и касательная в вершине. Как построить циркулем и линейкой касательную к этой параболе…
А вот к этой задаче теперь есть два пути/две подсказки — можно посмотреть второй слайд в инстаграмме (и он того очень стоит!), а можно сначала пройти через упомянутое выше свойство, а потом уже чуть-чуть оптимизировать решение.
Post #4021 2.15K

Forwarded from Математические этюды

https://www.instagram.com/p/CVGiBh-rGlo/

Разоблачение магии из предыдущего выпуска будет не сразу, сначала в рубрике рисунков М.Панова задача:

Дана парабола, её фокус и касательная в вершине. Как построить циркулем и линейкой касательную к этой параболе из произвольной точки T?

(Кто хочет подсказку, можно посмотреть второй слайд в инстаграме.)
Post #4020 5.15K
Математические этюды https://www.instagram.com/p/CU2apwOqC2E/ Сегодня в рубрике рисунков М.Панова вот такая магия. Можно попробовать сформулировать и доказать утверждения про фокусы и директрисы парабол, касающихся трех данных прямых. А в следующем выпуске рубрики будет разоблачение…
Ну и на задачу про параболы, касающиеся трёх заданных прямых, можно посмотреть так. Пусть мы уже знаем, где находится фокус; как нам найти директрису?
Мы только что обсудили, что зеркальное отражение фокуса относительно касательной на директрису попадает. А тут у нас касательных сразу три — можно отразить относительно всех трёх, и получить три точки, которые на директрисе должны лежать. Только лежат ли они все три на одной прямой?
Зеркальный образ точки при вдвое дальше, чем основание перпендикуляра — так что можно спрашивать, лежат ли все три перпендикуляра на одной прямой.
И если точка (кандидат в фокусы) лежит на описанной окружности, то да, лежат, и собственно, так и определяется прямая Симсона.
Wikipedia Прямая Симсона Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование следует из теоремы Симсона.
Post #4019 1.4K
Математические байки Тут тоже можно посмотреть на второй эллипс как на зеркальный образ первого. Если добавить на картинку касательную и отрезки от фокусов до точки касания, то получается такая картина — и то, что фокусы подвижного эллипса бегают по окружностям, это просто определение…
Собственно — катящиеся параболы это вырождение катящихся эллипсов. Если один фокус эллипса оставить на месте, а второй уносить на бесконечность, так, чтобы эллипс проходил через заданную точку — то эллипс выродится в проходящую через эту точку параболу с заданным фокусом. А окружность, по которой двигался отражённый образ первого фокуса, станет "окружностью бесконечного радиуса" (с центром на бесконечности, там, куда убежал второй фокус) — т.е. прямой; и эта прямая будет директрисой предельной параболы.
Post #4018 1.37K
Непрерывное математическое образование https://twitter.com/i/status/1430777572787462152 еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют
Тут тоже можно посмотреть на второй эллипс как на зеркальный образ первого. Если добавить на картинку касательную и отрезки от фокусов до точки касания, то получается такая картина — и то, что фокусы подвижного эллипса бегают по окружностям, это просто определение эллипса (сумма расстояний постоянна).
(Вот тут — https://www.geogebra.org/m/wwasgsjr — анимация в GeoGebra с движением эллипсов)
Post #4016 1.31K
Математические байки Я здесь пишу слово "должен" — потому что это следствие из того, какую картинку мы видим (фокус движется по горизонтальной прямой), а ещё не доказанное утверждение. Но как только становится понятно, что отрезок от точки касания до подвижного фокуса вертикален…
Собственно, доказательство теперь проводится совсем просто. Например, можно сказать, что при таком качении одной параболы по другой можно об этом думать, как о качении касательной-зеркала, а вторая парабола это её образ в этом зеркале. Тогда фокус второй параболы это зеркальный образ фокуса первой — а из картинки для оптического свойства мгновенно следует, что отражение фокуса параболы относительно любой касательной к этой параболе всегда попадает на директрису. (Что само по себе симпатичный факт — и каюсь, буквально в таком виде я его не помнил.)
Older posts →
Threads Profile ViewerView any public Threads profile without an account.Open ThreadLook →Writing with AI? Make it sound human.Metric37 rewrites AI drafts so they read naturally. Free AI detector, 1,500 words free.Try Metric37 →