چون خَطائَین، آن حساب باصفا

مولانا، در دفتر ششم مثنوی، در بیان این که «کار از کار خیزد در جهان» و گاه یافتن مطلوبِ درستِ نزدیکِ حاضر، موقوفِ سپردنِ راهِ دورِ خطاست، می‌گوید:
بو که موقوف است کامم بر سفر / چون سفر کردم، بیابم در حضر
یار را چندین بجویم جِدّ و چُست / که بدانم که نمی‌بایست جُست...
چون خَطائَین، آن حساب با صفا / گرددش روشن ز بَعدِ دو خطا...

و من فکر کردم که اینجا، برای مهندسان و ریاضی‌دوستان علاقمند به اشعار مولانا، این قاعده خطائین (دو خطا) را مختصر با جدول و مثال و «بیانی که بود نزدیک‌تر، زان تعاریف قدیم مستتر» در شروح و کتب قدیم، بیاورم.

این قاعده خطائین، که سابقه آن را در آثار ابوریحان بیرونی هم می‌بینیم و البته قدمت آن به پیش از دوره اسلامی بازمی‌گردد، روشی بوده در محاسبهٔ معادلات خطّی یا درجهٔ اوّل. برای نمونه، چه عددی است که دو برابر آن به علاوه ثلث آن برابر عددی خاص، به مثال عدد چهارده شود؟ ما امروزه خیلی ساده ضرایب را ادغام می‌کنیم (روش فاکتورگیری) و مستقیم به هدف می‌زنیم ولی قدما، در این موارد، دو فرض ابتدایی می‌گرفته‌اند و خطای هر دو را محاسبه می‌کرده‌اند و در ترکیبی از دو مفروض و دو خطا، متغیّر یا عدد مطلوب را محاسبه می‌کرده‌اند: گرددش روشن ز بعدِ دو خطا!

مراحل و مسیر محاسبه و اصطلاحات خاصّش را در جدول آورده‌ام به همراه دو نمونه از یک معادلهٔ ساده. چنان که می‌بینید، ابتدا عددی را به عنوان مجهول ابتدایی فرض می‌کرده‌اند که آن را «مفروض» اوّل می‌خواندند. این مفروض را در معادله می‌گذاشته‌اند و اختلاف نتیجه را، نسبت به سوی دیگر معادله، محاسبه می‌کرده‌اند که آن را «خطا»ی اوّل می‌نامیدند. معمولاً هم اختلاف مثبت یا اضافی را خطای «زاید»، و اختلاف منفی را خطای «ناقص» می‌نامیدند. همین روش را با مفروض دیگری تکرار می‌کرده‌اند به قصد محاسبه خطای دوم. سپس «محفوظ» اوّل را محاسبه می‌کردند که حاصل ضرب مفروض اوّل در خطای دوم بوده است و باز به همین ترتیب، محفوظ دوم. مجهول، یا به واقع عدد مطلوب، حاصل تقسیم «اختلاف دو محفوظ» بر «اختلاف دو خطا»ست.

در جدولی که آورده‌ام، در هر دو نمونه، مفروضات ابتدایی، تصادفی انتخاب شده‌اند که در نهایت به درستی جواب می‌دهند و چرا ندهند؟ می‌توان به سادگی با نوشتن معادلهٔ متغیّرها نشان داد که دو مفروض ابتدایی، هر چه باشند حذف می‌شوند و پاسخ درست می‌ماند، خوش و صاف از خطا، همچون «حساب با صفا!».

تاکید کنیم که قاعده خطائین خاصّ معادله خطّی است و این قاعده برای معادلهٔ غیرخطّی کارا نیست گرچه باز آنجا هم «تا مقصود زوتر رهبر است»، یعنی تقریب خوبی می‌دهد و با بکارگیری تقریب دوم، باز پاسخ نزدیک‌تری...

قاعده دو خطا همان روشی است که امروزه در محاسبات عددی به «روش سکانت» secant method معروف است در حلّ معادلات جبری غیرخطّی. در متون انگلیسی هم گاه آن را rule of double false position خوانده‌اند که درست معادل خطائین است. دانستن نام امروزی این روش، به علاقمندان کمک می‌کند که منطق و سابقهٔ این شیوه حلّ معادلات را در منابع دیگر هم دنبال کنند.

حال انصافا هیچ فکر می‌کردید که از طریق مثنوی سراغ حلّ معادلات عددی بیاییم؟
چون خَطائَین، آن حساب با صفا / گرددش روشن ز بَعدِ دو خطا
دانشِ آن بود موقوفِ سفر / ناید آن دانش به تیزیِ فِکَر
من نگویم زین طریق آید مُراد / می‌طپم تا از کجا خواهد گشاد...
.