Эгида - от др.-греч. αἰγίς (-ίδος) = козья шкура; эгида - от αἶξ (αιγός) = коза - от *aig'-. Отсюда же агнец и ягненок.

Эгида - щит Зевса, который, по преданию, был сделан из шкуры козы Амальтеи (от др-греч Амелия + Тея = нежная + богиня), вскормившей его в пещере, где его мать Рея прятала оного младенцем от отца - титана Кроноса, желавшего избавиться от всех своих детей, один из которых, по предсказанию, должен был свергнуть его.

Впоследствии в благодарность Зевс вознёс Амальтею на небо. Альфа созвездия Возничего - Капелла (от лат capella = козочка) - это именно она. Также пятый по размеру спутник Юпитера (самый большой после Галилеевых) назван в её честь.

По центру щита была расположена отрубленная Персеем голова Медузы горгоны. Зевс передал щит своей дочери Афине, с которым она часто изображается, иногда в виде козьей шкуры.

В переносном значении 'под эгидой' значит 'под защитой/под покровительством', а в прямом, стало быть, 'под шкурой' :)